비허리의 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 비허리의 부등식(Bihari's inequality, -不等式)은 헝가리 수학자 비허리 임레(틀:Llang)가 입안하고 증명한 부등식이다. 이 부등식은 유명한 그뢴발의 부등식 중 적분 형식의 일반화로 볼 수 있다.

공식화

u 와 ƒ를 [0, ∞)에서 정의된 음이 아닌 연속함수라 하고, w를 [0, ∞)에서 정의된 연속이며 감소함수가 아니고 (0, ∞)에서 w(u) > 0을 만족하는 함수라고 하자. 만약 적당한 음이 아닌 상수 α에 대해 u 가 다음의 부등식을 만족한다면,

$u(t)\le \alpha +\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)w(u(s))ds,t\in [0,\mathrm{\infty }),$

u는 다음의 부등식 역시 만족한다.

$u(t)\le G^{-1}(G(\alpha )+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)ds),t\in [0,T],$

여기서 함수 G는 다음과 같이 주어진다.

$G(x)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{dy}{w(y)},x>0,x_0>0,$

G 의 역함수 G ⁻¹ 와 T는 다음 조건을 만족하도록 골라야 한다.

$G(\alpha )+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)ds\in \text{Dom}(G^{-1}),\mathrm{\forall }t\in [0,T].$