뷔퐁의 바늘

바늘 $a$는 선을 가로지르고, 바늘 $b$는 그렇지 않다.

뷔퐁의 바늘(틀:Llang)은 18세기에 뷔퐁 백작이 처음 제기한 문제이다.

너비가 모두 같은 평행한 목재 널빤을 깔아 만든 마루가 있을 때, 그 마루 위에 바늘을 떨어뜨린다. 바늘이 널빤과 널빤 사이의 선을 가로지를 확률은 얼마인가?

뷔퐁의 바늘은 최초의 기하확률론 문제이다. 적분기하를 이용해 풀 수 있으며, 바늘의 길이가 널빤의 너비보다 크지 않을 때, 몬테카를로 방법을 사용하면 원주율을 근사할 수 있다. 다만 이것은 뷔퐁이 본래 의도한 결과는 아니었다.

풀이

문제를 보다 수학적인 용어로 다시 풀면 이렇다.

길이 $l$의 바늘이 $t$ 간격의 평행선들로 이루어진 평면에 떨어질 때, 바늘이 선을 가로지를 확률은 얼마인가?

바늘 가운데에서 가장 가까운 평행선까지의 거리를 $x$라 하고, 바늘과 평행선들이 이루는 각도를 $\theta$로 정의한다.

범위 $x=[0,\frac{t}{2}]$의 균등확률분포함수는

$\{\begin{array}{cc}\frac{2}{t}& :0\le x\le \frac{t}{2}\\ 0& :\text{elsewhere.}\end{array}$

범위 $\theta =[0,\frac{\pi }{2}]$의 균등확률분포함수는

$\{\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }& :0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\\ 0& :\text{elsewhere.}\end{array}$

두 확률변수 $x,\theta$가 독립이므로 결합분포는

$\{\begin{array}{cc}\frac{4}{t\pi }& :0\le x\le \frac{t}{2},0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\\ 0& :\text{elsewhere.}\end{array}$

고로 바늘이 선을 가로지를 조건은 다음과 같다.

$x\le \frac{l}{2}\sin \theta .$

그리고 결과는 조건에 따라 두 가지로 나뉜다.

짧은 바늘

$l<t$일 때, 결합확률분포함수를 적분하면

$P=\underset{\theta =0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\underset{x=0}{\overset{(l/2)\sin \theta }{\int }}\frac{4}{t\pi }dxd\theta =\frac{2l}{t\pi }.$

이 결과는 "뷔퐁의 국수"를 이용해서 도출할 수도 있다.

긴 바늘

$l>t$일 때, 결합확률분포함수를 적분하면

$\underset{\theta =0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\underset{x=0}{\overset{m(\theta )}{\int }}\frac{4}{t\pi }dxd\theta ,$

이때 $m(\theta )$은 범위 $\theta =[\frac{l}{2}\sin \theta ,\frac{t}{2}]$의 최솟값이다.

상기 적분을 수행하면 $t<l$일 때, 바늘이 선을 가로지를 확률은

$\frac{2l}{t\pi }-\frac{2}{t\pi }\{\sqrt{l^2-t^2}+t{\sin }^{-1}\left(\frac{t}{l}\right)\}+1$

또는

$\frac{2}{\pi }{\cos }^{-1}\frac{t}{l}+\frac{2}{\pi }\frac{l}{t}\{1-\sqrt{1-{\left(\frac{t}{l}\right)}^2}\}.$

두 번째 표현의 경우, 제1항은 바늘이 적어도 한 개의 선과 겹치게 되는 각도가 나올 확률을 나타낸다. 제2항은 바늘이 위치에 따라 선과 겹칠 수도 있고 안 겹칠 수도 있을 때 그 위치가 겹치는 위치가 될 확률을 나타낸다.

같이 보기

• 베르트랑의 역설 (확률)