부분 수열

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 부분 수열(部分數列, 틀:Llang) 또는 부분열(部分列)은 주어진 수열의 일부 항을 원래 순서대로 나열하여 얻을 수 있는 수열이다.

정의

집합 $X$ 위의 두 수열 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ($x_n,y_n\in X$)이 주어졌다고 하자. 만약 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $n_{\bullet }:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$이 존재한다면, 수열 $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 수열 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$의 부분 수열이라고 한다.

• $n_{\bullet }$는 순증가 함수이다. 즉, 임의의 자연수 $k\in \mathbb{N}$에 대하여, $n_k<n_{k+1}$이다.
• 임의의 자연수 $k\in \mathbb{N}$에 대하여, $y_k=x_{n_k}$

성질

순서론적 성질

집합 $X$ 위의 수열들의 집합 $X^{\mathbb{N}}$ 위에서, 부분 순서 관계는 원순서를 이룬다.틀:Rp 즉, 모든 수열은 자기 자신을 부분 수열로 가지며, 부분 수열의 부분 수열은 원래 수열의 부분 수열이다. 만약 $X$의 크기가 2 이상일 경우, 부분 순서 관계는 부분 순서가 아니며, 동치 관계도 아니다.틀:Rp 예를 들어, 서로 다른 두 실수 수열

$(0,1,0,1,\dots )$

$(1,0,1,0,\dots )$

은 서로의 부분 수열이다.

해석학적 성질

위상 공간 $X$ 위의 수열 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 수렴한다.
• 모든 부분 수열이 수렴한다.

위상 공간 $X$ 위의 수열 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq X$ 및 점 $x\in X$ 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$은 $x$로 수렴한다.
• $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$의 모든 부분 수열 $(x_{n_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$은 $x$로 수렴한다.
• $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$의 모든 부분 수열 $(x_{n_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$은 $x$로 수렴하는 부분 수열 $(x_{n_{k_j}}{)}_{j\in \mathbb{N}}$을 갖는다.틀:Rp

모든 실수 수열은 단조 부분 수열을 갖는다. 모든 유계 실수 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다 (볼차노-바이어슈트라스 정리).

예

음이 아닌 정수의 열 $(0,1,2,3,\dots )$은 음이 아닌 짝수의 열 $(0,2,4,\dots )$을 한 부분 수열로 갖는다.

외부 링크

• 틀:플래닛매스