별모양 집합

별모양 집합의 예.

수학에서 별모양 집합(-模樣集合, 틀:Llang)은 유클리드 공간의 특정한 꼴의 부분집합이다. 대략, 별모양 집합을 벽으로 둘러싸였다고 생각하면, 어떤 원점이 존재하여 그 원점으로부터 벽까지의 시선이 가려지지 않는 집합이다.

정의

유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 속의 별모양 집합 $S\subset {ℝ}^n$는 다음 성질을 만족한다. 적어도 하나의 어떤 ${𝐱}_0\in S$가 존재하여, 모든 $𝐱\in S$와 $\alpha \in [0,1]$에 대하여,

$\alpha (𝐱-{𝐱}_0)+{𝐱}_0\in S$

이다. (이러한 원점은 유일하지 않을 수 있으며, 별모양 집합을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.)

마찬가지로 복소수 벡터 공간 ${ℂ}^n$에 대해서도 유사하게 별모양 집합을 정의할 수 있다.

성질

• 별모양 집합의 폐포는 별모양 집합이다. 그러나 별모양 집합의 내부는 별모양이지 않을 수 있다.
• 모든 별모양 집합은 축약 가능 공간이며, 따라서 단일 연결 공간이다.
• 공집합이 아닌 모든 볼록 공간은 별모양 집합이나, 그 역은 성립하지 않는다. (공집합은 볼록공간이지만 별모양 집합이 아닌 유일한 집합이다.)
• 별모양 집합들의 합집합이나 교집합]]은 별모양이 아닐 수 있다.
• ${ℝ}^n$ 속에서, 공집합이 아닌 열린 별모양 집합은 ${ℝ}^n$과 미분동형이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Eom