벡터화

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 특히 선형대수학과 행렬 이론에서 행렬의 벡터화(Vector化, 영어:Vectorization)는 행렬을 세로 벡터로 바꾸는 선형변환의 하나이다. m×n행렬 A의 선형화는 vec(A)로 표기하며, 행렬 A의 열을 다음 열 위에 쌓아가며 얻을 수 있다.

$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)=[a_{1,1},\dots ,a_{m,1},a_{1,2},\dots ,a_{m,2},\dots ,a_{1,n},\dots ,a_{m,n}{]}^T$

$a_{i,j}$는 행렬 $A$의 $(i,j)$ 성분을 나타내며, $T^{}$는 전치행렬을 나타낸다. 벡터화는 (행렬과 벡터의)벡터 공간 사이의 동형 사상 ${𝐑}^{m\times n}:={𝐑}^m\otimes {𝐑}^n\cong {𝐑}^{mn}$을 나타낸다.

예를 들어, 2×2 행렬 $A$ = $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$를 벡터화하면$\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)=\left[\begin{array}{c}a\\ c\\ b\\ d\end{array}\right]$가 된다.

크로네커 곱과의 호환성

$\text{vec}(ABC)=(C^T\otimes A)\text{vec}(B)$

$\text{vec}(ABC)=(I_n\otimes AB)\text{vec}(C)=(C^T{B}^T\otimes I_k)\text{vec}(A)$

$\text{vec}(AB)=(I_m\otimes A)\text{vec}(B)=(B^T\otimes I_k)\text{vec}(A)$

아다마르 곱과의 호환성

vec(A $\circ$ B) = vec(A) $\circ$ vec(B).

내적과의 호환성

tr(A^* B) = vec(A)^* vec(B)

같이 보기

• 행렬화

참고 문헌

• Jan R. Magnus and Heinz Neudecker (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, 2nd Ed., Wiley. 틀:ISBN.
• Jan R. Magnus (1988), Linear Structures, Oxford University Press. 틀:ISBN.