매티그 공식

틀:위키데이터 속성 추적 매티그 공식(틀:Llang)은 관측 우주론과 외부은하 천문학에서 중요한 공식으로 주어진 천체의 원주좌표(radial coordinate)와 적색편이 사이의 관계를 제공한다. 이는 사용되는 우주론적 모델에 따라 달라지며 적색편이에 따른 광도 거리를 계산하는 데 사용된다.

여기에서는 암흑 에너지가 0이라고 가정하므로, 현재의 람다 CDM 모델 (거리-적색편이 관계를 얻기 위해 수치 적분을 필요로 함)과 같은 현대 우주론 모델에서는 더 이상 적용할 수 없다. 그러나 매티그의 공식은 임의의 물질 밀도에 대한 거리-적색편이 관계에 대한 최초의 분석 공식으로서 상당한 역사적 중요성을 가졌고, 이는 이 관계를 측정하려는 1960년대와 1970년대에 중요한 연구에 박차를 가했다.

암흑 에너지가 없는 경우

매티그(W. Mattig)가 1958년 논문에서 유도한 것으로 이 관계식의 수학적 공식은 다음과 같다.

$r_1=\frac{c}{R_0{H}_0}\frac{q_{0}z+(q_0-1)(-1+\sqrt{1+2q_{0}z})}{q_0^2(1+z)}$

여기서, $r_1=\frac{d_p}{R}=\frac{d_c}{R_0}$ 관찰자로부터 천체의 원주좌표 거리(현재의 고유 거리)이고, $d_p$는 고유 거리(proper distance), $d_c$는 공변 거리(comoving distance)이다.

$q_0={\mathrm{\Omega }}_0/2$는 감속 매개변수로 ${\mathrm{\Omega }}_0$는 현재 우주에 있는 물질의 밀도이다.

$R_0$는 현재의 스케일 팩터이고 $R$은 임의 시간의 스케일 팩터이다.

$H_0$는 현재 허블 상수이고,

$z$는 여느때와 같이 적색편이이다.

이 방정식은 $q_0>0$일때만 유효하고 $q_0\le 0$ 일 때는 $r_1$값은 계산할 수 없는데, 이것은 이 식의 유도시에 우주 상수를 가정하지 않았다는 점에 의한 것이다. 우주 상수가 없으면 $q_0$는 음수 값을 가질 수 없게 된다.

원주좌표계에서 다음 공식을 사용하여 광도 거리를 계산할 수 있다.

$D_L=R_0{r}_1(1+z)=\frac{c}{H_0{q}_0^2}[q_{0}z+(q_0-1)(-1+\sqrt{1+2q_{0}z})]$

$q_0=0$일 때, 우리는 테일러 급수를 사용하여 광도 거리에 대한 또 다른 표현을 얻는다.

$D_L=\frac{c}{H_0}(z+\frac{z^2}{2})$

그런데 1977년 테럴(Terrell)은 모든 $q_0\ge 0$의 경우에 유효한 공식을 고안했다.

$D_L=\frac{c}{H_0}z[1+\frac{z(1-q_0)}{1+q_{0}z+\sqrt{1+2q_{0}z}}]$