마트베예프의 정리

틀:위키데이터 속성 추적 마트베예프의 정리(Matveev's theorem, -定理)는 러시아의 수학자 마트베예프(Matveev)의 이름이 붙은 수론의 정리이다. 이 정리는 특정한 꼴의 지수함수 간의 차이에 대한 하한을 구할 때 유용하게 사용된다.

표현

어떤 n개의 대수적 수 $a_1,a_2,...,a_n$ 와 n개의 정수 $b_1,b_2,...,b_n$가 있다. 여기서 세 개의 수 G, D, B를 다음과 같이 정의한다.

• $G:=\prod _{k=1}^n(a_k{)}^{b_k}-1$
• $D:=[Q(a_1,...,a_n):Q]$ (여기서 Q는 유리수의 집합)
• $B:=\max [|b_1|,...,|b_n|]$

그러면, 마트베예프의 정리는 다음과 같이 G의 절댓값 하한을 나타내는 부등식으로 표현된다.

• $\ln |G|>-3\cdot 30^{n+4}\cdot (n+1{)}^{5.5}\cdot D^2(1+\ln D)(1+\ln nB)\cdot \prod _{k=1}^n|a_k|$

또한, 만일 $Q(a_1,...,a_n)$가 실수의 집합 R에 포함된다면, 이 부등식은 다음과 같이 개선될 수 있다.

• $\ln |G|>-1.4\cdot 30^{n+3}\cdot (n+1{)}^{4.5}\cdot D^2(1+\ln D)(1+\ln B)\cdot \prod _{k=1}^n|a_k|$

베넷의 정리

마트베예프의 정리의 직접적인 이론적 응용으로 베넷의 정리(Benett's theorem)가 있다. 이 정리는 다음과 같이 표현된다.

• 임의의 음이 아닌 정수 a, b, c에 대하여, m, n에 관한 방정식 $a^m-b^n=c$는 많아야 두 개의 정수해를 갖는다.

이 정리는 페르마의 마지막 정리에서 다루는 방정식과 직접적으로 관련이 있다.

같이 보기

• 페르마의 마지막 정리

참고 문헌

• Henri Cohen (2007), Number Theory Volume II: Analytic and Modern Tools, Springer, pp. 412-416.