라이스너-노르드스트룀 계량

틀:위키데이터 속성 추적 라이스너-노르드스트룀 계량(틀:Llang, RN)은 구면대칭 전하에 대한 아인슈타인 방정식의 해다.

정의

편의상 $c = 1$ 로 놓자. 라이스너-노르드스트룀 계량은 다음과 같다.

d s^{2} = - (1 - \frac{2 G M}{r} + \frac{G Q^{2}}{4 π ϵ_{0} r^{2}}) d t^{2} + {(1 - \frac{2 G M}{r} + \frac{G Q^{2}}{4 π ϵ_{0} r^{2}})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} d Ω^{2}

A_{t} = \frac{Q}{4 π ϵ_{0} r}

여기서

d Ω^{2} = d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2}

이고, $M$ 은 블랙홀의 질량, $Q$ 는 블랙홀의 전하이다. 전하가 0일 경우 RN 계량은 슈바르츠실트 계량이 된다.

RN 계량에서는 두 개의 지평선이 존재한다. 좌표로 쓰면

r_{\pm} = G M \pm \sqrt{G^{2} M^{2} - G Q^{2} / 4 π ϵ_{0}}

이다. 겉의 것은 사건 지평선이고, 안의 것은 코시 지평선이다. 전하가

| Q | = \sqrt{4 π ϵ_{0} G} M

일 때, 두 개의 지평선은 겹친다. 이 경우를 극대 블랙홀이라 한다. 이는

| Q | / M = \sqrt{4 π ϵ_{0} G} = 24.3 p C / k g = 152 e / m g

일 경우이다.

$| Q | > \sqrt{4 π ϵ_{0} G} M$ 이면 시공간에 벌거숭이 특이점이 발생한다. 로저 펜로즈의 우주 검열 가설에 따르면, 이러한 블랙홀은 자연계에 존재하지 않는 것으로 여겨진다.

편의상 $1 = c = ϵ_{0} = 8 π G$ 로 놓자. 임의의 $d > 3$ 차원의 민코프스키 공간 속에서 라이스너-노르드스트룀 계량이 존재한다. 그 계량은 다음과 같다.^[1]틀:Rp

d s^{2} = - H (r)^{- 2} W (r) d t^{2} + H^{2 / (d - 3)} (W (r)^{- 1} d r^{2} + r^{2} d Ω_{(d - 2)}^{2})

A_{0} (r) = α (H^{- 1} (r) - 1)

H (r) = 1 - \frac{ω}{(1 - \frac{d - 3}{2 (d - 2) α^{2}}) r^{d - 3}}

W (r) = 1 - ω / r^{d - 3}

여기서 상수 $h$ , $α$ , $ω$ 는 블랙홀의 질량 $M$ 및 전하 $Q$ 와 다음과 같은 관계를 갖는다.

α = \frac{1}{(d - 3) vol (S^{d - 2})} \frac{Q}{(d - 2) vol (S^{d - 2}) M + ω / 2}

ω = \frac{1}{(d - 2) vol (S^{d - 2})} \sqrt{M^{2} - \frac{d - 2}{d - 3} Q^{2}}

여기서

vol (S^{d - 2}) = \frac{(d + 1) π^{(d + 1) / 2}}{Γ ((d + 3) / 2)}

은 $d - 2$ 차원 단위 초구의 넓이다.

고차원 라이스터-노르드스트룀 해의 사건 지평선은

r = \sqrt[d - 3]{ω}

에 위치한다. 벌거숭이 특이점이 아닐 조건은 다음과 같다.^[1]틀:Rp

| Q | / M \leq \sqrt{8 π G ϵ_{0} \cdot \frac{d - 3}{d - 2}}

슈바르츠실트 계량이 발견된 직후에 독일의 항공우주공학자 한스 야코프 라이스너(틀:Llang)와 핀란드의 물리학자 군나르 노르드스트룀, 독일의 수학자 헤르만 바일^[2], 영국의 수리물리학자 조지 바커 제프리^[3]가 각각 독립적으로 발견하였다.