도박꾼의 파산

틀:위키데이터 속성 추적 확률론에서 도박꾼의 파산(賭博軍의 破産, 틀:Llang)은 유한한 초기 자산을 가지고 일련의 공평한 도박을 하는 도박꾼은 거의 확실하게 자산이 0이 되어 파산하게 된다는 정리이다.

정의

도박꾼의 파산 문제는 다음과 같다. 두 도박꾼이 각각 초기 자산 $n_1,n_2\in \mathbb{N}$을 가진다고 하자. 이들이 일련의 도박을 하여, 패자가 승자에게 자산 1만큼을 주게 된다고 하자. 이렇게 일련의 도박을 계속하여, 둘 중 자산이 0이 되는 경우 파산하게 된다. 각 도박꾼이 하나의 도박을 이길 확률이 $p_1$과 $p_2=1-p_1$이라고 하자. 그렇다면 각 도박꾼이 파산할 확률 $P_1,P_2$은 얼마인가?

이 경우, 공평한 도박 ($p_1=p_2=1/2$)에서의 파산 확률은 다음과 같다.

$P_1=\frac{n_2}{n_1+n_2}$

$P_2=\frac{n_1}{n_1+n_2}$

불공평한 도박 ($p_1\ne p_2$)에서의 파산 확률은 다음과 같다.

$P_1=1-\frac{1-(p_2/p_1{)}^{n_1}}{1-(p_2/p_1{)}^{n_1+n_2}}$

$P_2=1-\frac{1-(p_1/p_2{)}^{n_2}}{1-(p_1/p_2{)}^{n_1+n_2}}$

두 경우 모두 $P_1+P_2=1$이다. 즉, 둘 중 하나는 거의 확실하게 파산하게 된다.

특수한 경우

이 문제에서 $n_1\ll n_2$인 경우를 생각하자. 즉, 카지노가 도박꾼보다 매우 더 부유하다고 하자. 이 경우 $n_2\to \mathrm{\infty }$ 극한을 취하면 다음과 같다.

$P_1=\{\begin{array}{cc}(p_2/p_1{)}^{n_1}& p_1>p_2\\ 1& p_1\le p_2\end{array}$

$P_2=1-P_1$

따라서, 도박꾼은 $p_1>1/2$인 경우에는 파산할 확률이 유한하고, $p_1\le 1/2$인 경우에는 거의 확실하게 파산하게 된다. 도박꾼은 심지어 도박이 공평한 경우($p_1=p_2=1/2$)에도 거의 확실하게 파산한다.

역사

이 문제는 1656년 블레즈 파스칼이 피에르 드 페르마에게 쓴 편지에서 최초로 등장한다. 이 문제는 같은 해 피에르 드 카르카비가 크리스티안 하위헌스에게 보낸 편지에서 다음과 같이 등장한다. 틀:인용문 하위헌스는 이 문제를 1657년 출판된 저서 《주사위 놀이에서의 논리》(틀:Llang)에서 문제 5번으로 이 문제를 다루었고, 각각 이길 확률의 비가

244 140 625 : 282 429 536 481

라고 계산하였다.

같이 보기

• 도박
• 도박사의 오류
• 켈리 공식

외부 링크

• 틀:매스월드