델 (연산자)

$\mathrm{\nabla }$

나블라 기호를
사용하여 표시하는
델 연산자

델 연산자는 벡터 미적분학에서 많이 쓰이는 연산자로써 나블라 기호로 표현하며 함수의 발산이나 회전 등을 나타내는데 사용된다. 어떤 함수 $y=f\left(x\right)$를 미분할 때 미분을 하나의 과정으로 볼 수 있지만 하나의 연산, 즉 $y$를 $\frac{d}{dx}$라는 연산자를 사용하여 연산하는 방법으로 바라볼 수도 있다. 델 연산자는 미분 연산자와 마찬가지로 그래디언트를 하나의 연산자로 바라본 것이다.

수학적 정의

3차원 공간 ${ℝ}^3$에서 델 연산자는 $\mathrm{\nabla }=𝐢\frac{\partial }{\partial x}+𝐣\frac{\partial }{\partial y}+𝐤\frac{\partial }{\partial z}$로 정의된다. 비슷한 방식으로 n차원 공간에서의 델 연산자는 다음과 같이 정의된다.

$\mathrm{\nabla }=\sum _{i=1}^n{𝐞}_i\frac{\partial }{\partial x_i}$

여기서 ${𝐞}_i$는 i번째 좌표만 1이고 나머지는 0으로 채워진 n차원의 표준기저를 의미한다.

그래디언트

틀:참고 델 연산자를 어떤 함수 $f:A\subset {ℝ}^3\to ℝ$에 적용시키자. 다시 말해서 $f$를 어떤 스칼라 함수라 하고, $\overrightarrow{A}=(A_x,A_y,A_z)$를 3차원 공간상의 어떤 벡터라 하자. 각각은 x,y,z 에 대한 함수다. 이 때, 4가지 연산의 정의는 이렇게 쓸 수가 있다.

$\mathrm{\nabla }f=(𝐢\frac{\partial }{\partial x}+𝐣\frac{\partial }{\partial y}+𝐤\frac{\partial }{\partial z})f=𝐢\frac{\partial f}{\partial x}+𝐣\frac{\partial f}{\partial y}+𝐤\frac{\partial f}{\partial z}$

이는 그래디언트의 정의와 같다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자를 이용하여 정의된다.

발산

틀:본문 어떤 벡터장 $𝐅:A\subset {ℝ}^3\to {ℝ}^3$의 발산 또는 다이버전스는 델 연산자와의 스칼라곱으로 정의된다.

$\mathrm{div}𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=(𝐢\frac{\partial }{\partial x}+𝐣\frac{\partial }{\partial y}+𝐤\frac{\partial }{\partial z})\cdot (F_1𝐢+F_2𝐣+F_3𝐤)=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$

여기서 $F_1,F_2,F_3$는 벡터장 $𝐅$의 성분 스칼라장들이다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자와 n차원 벡터장의 스칼라곱으로 정의된다.

회전

틀:본문 어떤 벡터장 $𝐅:A\subset {ℝ}^3\to {ℝ}^3$의 회전 또는 돌개는 델 연산자와의 벡터곱으로 정의된다.

$\mathrm{curl}𝐅=\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_1& F_2& F_3\end{array}\right|=(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})𝐤$

여기서 $F_1,F_2,F_3$는 벡터장 $𝐅$의 성분 스칼라장들이며 회전연산자의 결과 $\mathrm{curl}F$ 또는 $\mathrm{\nabla }\times F$는 같은 차원의 벡터장이다. 3차원이 아닌 공간에서는 정의되지 않지만 2차원 평면에서는 $𝐤$성분이 없는 3차원 벡터로 놓고 계산하는 경우도 있다.

라플라시안

틀:본문 라플라시안 또는 라플라스 연산자 ${\mathrm{\nabla }}^2$은 그래디언트의 발산으로 정의된다.

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \left(\mathrm{\nabla }f\right)=(𝐢\frac{\partial }{\partial x}+𝐣\frac{\partial }{\partial y}+𝐤\frac{\partial }{\partial z})\cdot (𝐢\frac{\partial f}{\partial x}+𝐣\frac{\partial f}{\partial y}+𝐤\frac{\partial f}{\partial z})=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 그래디언트의 n차원 발산으로 정의된다.

관련된 여러 성질들

$c$는 상수이고 함수 $f,g,𝐅,𝐆$는 다음과 같이 정의된다. $f:A\subset {ℝ}^3\to ℝ,g:B\subset {ℝ}^3\to ℝ,𝐅:C\subset {ℝ}^3\to {ℝ}^3,𝐆:D\subset {ℝ}^3\to {ℝ}^3$

1. $\mathrm{\nabla }(f+g)=\mathrm{\nabla }f+\mathrm{\nabla }g$
2. $\mathrm{\nabla }\left(cf\right)=c\mathrm{\nabla }f$
3. $\mathrm{\nabla }\left(fg\right)=f\mathrm{\nabla }g+g\mathrm{\nabla }f$
4. $g\left(𝐱\right)\ne 0$인 $𝐱$에 대해서 $\mathrm{\nabla }\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\mathrm{\nabla }f-f\mathrm{\nabla }g}{g^2}$
5. $\mathrm{\nabla }\cdot (𝐅+𝐆)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐆$
6. $\mathrm{\nabla }\cdot \left(c𝐅\right)=c\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$
7. $\mathrm{\nabla }\cdot \left(f𝐅\right)=f\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅+𝐅\cdot \mathrm{\nabla }f$
8. $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }f\times \mathrm{\nabla }g)=0$
9. $\mathrm{\nabla }\times (𝐅+𝐆)=\mathrm{\nabla }\times 𝐅+\mathrm{\nabla }\times 𝐆$
10. $\mathrm{\nabla }\times \left(c𝐅\right)=c\mathrm{\nabla }\times 𝐅$
11. $\mathrm{\nabla }\times \left(f𝐅\right)=f\mathrm{\nabla }\times 𝐅+\mathrm{\nabla }f\times 𝐅$
12. $\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }f=\mathrm{𝟎}$
13. $\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐅=0$
14. ${\mathrm{\nabla }}^2\left(fg\right)=f{\mathrm{\nabla }}^{2}g+2(\mathrm{\nabla }f\cdot \mathrm{\nabla }g)+g{\mathrm{\nabla }}^{2}f$
15. $\mathrm{\nabla }\cdot (f\mathrm{\nabla }g-g\mathrm{\nabla }f)=f{\mathrm{\nabla }}^{2}g-g{\mathrm{\nabla }}^{2}f$

1번과 2번 성질에 의하여 그래디언트가, 5번과 6번 성질에 의하여 발산이, 9번과 10번 성질에 의하여 회전이 선형변환임을 알 수 있다.

역사

델 연산자는 윌리엄 로언 해밀턴이 사원수를 연구하면서 생각해낸 개념으로 그는 $\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}𝐢+\frac{\partial }{\partial y}𝐣+\frac{\partial }{\partial z}𝐤$로 정의하였다. 만약 3차원 공간의 스칼라장 $f$와 곱하면 $f$의 그래디언트를 얻을 수 있고 3차원 벡터장과 사원수 곱을 하면 스칼라 성분은 발산의 음수, 벡터성분은 회전이다.($\mathrm{\nabla }𝐕=-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕+\mathrm{\nabla }\times 𝐕$, 여기서 $\mathrm{\nabla }𝐕$는 그래디언트가 아니라 단순히 델과 V의 곱이다.) 그는 이러한 개념들에서 물리적 의미를 찾을 수는 없었지만 중요한 물리적 의미가 있을 것이라고 예상하고 있었다.

델 연산자와 발산, 회전의 물리적 의미를 처음으로 발견한 사람은 제임스 클러크 맥스웰이다. 맥스웰은 그의 논문 <<전기와 자기에 관한 논문>>에서는 발산과 회전을 각각 그 당시 많이 사용되던 단어인 컨버전스(convergence)와 로테이션(rotation)이라 이름 붙이고 전기장과 자기장 사이의 상호작용을 설명하였다. 그는 발산의 물리적 의미를 가우스의 발산정리를 이용하여 설명하였으나 회전의 경우 깊은 물리적 의미를 찾지는 못하였다.

지금의 이름인 ‘발산(틀:Llang)’과 ‘회전(틀:Llang)’을 붙인 것은 조사이어 윌러드 기브스이다. 그는 맥스웰보다 발산과 회전의 훨씬 더 근본적인 물리적 의미를 찾아냈다. 그가 찾아낸 발산의 의미는 공간에서 유체의 속도벡터와 공간 상의 어느 한 점에서 유체가 빠져나가는 속도를 잇는 연산자였고, 회전의 의미는 어떤 강체 각 지점의 속도 벡터와 강체의 각속도를 연결짓는 연산자였다.

같이 보기

• 맥스웰 방정식
• 나비에-스토크스 방정식

외부 링크

• 틀:언어링크 A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen