단위 벡터 모형

틀:위키데이터 속성 추적 통계역학에서, 단위 벡터 모형(單位vector模形, 틀:Llang) 또는 직교군 모형(直交群模形, 틀:Llang) 또는 크라트키-포로트 모형(틀:Llang)은 강자성 또는 중합체의 모형이다. 이 경우, 서로 이웃한 스핀(또는 단량체) 사이의 각이 $\theta$라면, $\cos \theta$에 비례하는 퍼텐셜이 존재한다. 이는 자석의 경우 이웃하는 스핀 사이의 상호 작용을 나타내며, 중합체의 경우 중합체가 뻣뻣한 정도를 나타낸다.

정의

유한 그래프 $\mathrm{\Gamma }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 해밀토니언을 생각할 수 있다.

$H(\beta ,𝐡)=\beta \sum _{ij\in 𝙴(\mathrm{\Gamma })}{𝐬}_i\cdot {𝐬}_j+𝐡\cdot \sum _{i\in 𝚅(\mathrm{\Gamma })}{𝐬}_i$

여기서 각 ${𝐬}_i\in {𝕊}^{n-1}$는 $n$차원 단위 벡터이다.

이에 대한 분배 함수

$Z_{\mathrm{\Gamma }}(\beta ,𝐡)=\underset{({𝕊}^{n-1}{)}^{𝚅(\mathrm{\Gamma })}}{\int }\mathrm{d}s\exp (\beta \sum _{ij\in 𝙴(\mathrm{\Gamma })}{𝐬}_i\cdot {𝐬}_j+𝐡\cdot \sum _{i\in 𝚅(\mathrm{\Gamma })}{𝐬}_i)$

를 $n$차원 단위 벡터 모형이라고 한다.

물리학적 해석

단위 벡터 모형은 강자성 또는 반강자성의 고전적 모형으로 해석될 수 있다. 이 경우, $h$는 외부 자기장을 나타낸다.

단위 벡터 모형은 또한 중합체의 모형으로 해석될 수 있다. 여기서 $\mathrm{\Gamma }$는 중합체의 모양이며, ${𝐬}_i\cdot {𝐬}_j$ 항은 중합체가 굽는 것에 대한 저항을 나타낸다. 이러한 모형을 크라트키-포로트 모형(틀:Llang)이라고 한다. 즉, 중합체를 접으려면 에너지가 필요하다. 이 경우 $𝐡\cdot {𝐬}_i$ 항은 외부 중력장으로 해석할 수 있다.

성질

$\mathrm{\Gamma }$가 길이 $N+1$의 경로 그래프이며, $h=0$이라고 하자. 이 경우, 분배 함수는 다음과 같은 꼴이 된다.

$Z_N=Z_1^N$

$Z_1=\mathrm{vol}({𝕊}^{n-2})\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(\sin \theta {)}^{n-2}\mathrm{d}\theta \exp (-\beta \cos \theta )$

변수를

$t=-\cos \theta$

$\mathrm{d}t=\sin \theta \mathrm{d}\theta$

로 적으면

$Z_1=\mathrm{vol}({𝕊}^{n-2})\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{d}t(1-t^2{)}^{(n-3)/2}\exp (\beta t)$

가 된다. 특히, $n=3$일 때 이는 단순히

$Z_1=\mathrm{vol}({𝕊}^{n-2})\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\mathrm{d}t\exp (\beta t)=4\pi \frac{\sinh \beta }{\beta }$

이다.

특수한 경우

1차원 단위 벡터 모형은 이징 모형과 같다. 3차원 단위 벡터 모형은 보통 고전 하이젠베르크 모형(틀:Llang)이라고 하는데, 이는 이 모형이 SU(2) 하이젠베르크 스핀 사슬의 고전적 극한이기 때문이다.

연속 극한

연속 극한에서, 이 모형은 다음과 같은 꼴의 해밀토니언으로 나타내어진다.

$H=\int (\beta (\ddot{x}(t){)}^2+h\cdot \dot{x}(t))\mathrm{d}t$

여기서, 전체 길이

$L=\int \sqrt{\dot{x}(t{)}^2}\mathrm{d}t$

가 고정되게 된다.