내분과 외분

주어진 내/외분비의 내분점과 외분점의 작도법

기하학에서 내분(內分)은 선분을 그 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 내분하는 점을 내분점(內分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 내분비(內分比)라고 한다. 이와 비슷하게, 외분(外分)은 선분을 그 연장선 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 외분하는 점을 외분점(外分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 외분비(外分比)라고 한다.

정의

내/외분비의 정의와 예시

세 공선점 $A,B,C$ ($A\ne B$)의 내/외분비(틀:Llang) $(A,B;C)$는 다음을 만족시키는 유일한 수이다.

$\overrightarrow{AC}=(A,B;C)\overrightarrow{CB}$

즉, 이는 다음과 같다.

$(A,B;C)=\{\begin{array}{cc}|AC|/|CB|& B\ne C\in \overline{AB}\\ -|AC|/|CB|& B\ne C\in ̸\overline{AB}\\ \hat{\mathrm{\infty }}& C=B\end{array}\in (ℝ\setminus \{-1\})\bigsqcup \{\hat{\mathrm{\infty }}\}$

성질

틀:Abs = 1일 때, t = 틀:Abs와 λ = (A, B; C)의 관계 λ = t / (1 - t)의 그래프

T를 틀:Overset와 틀:Overset의 선형 결합으로 나타낼 때의 계수(다시 말해, 좌표계 (O; 틀:Overset, 틀:Overset) 아래 T의 좌표)는 틀:Overline에 대한 T의 내분비를 통해 표시할 수 있다.

• 세 점의 위치 관계에 따른 내/외분비의 범위는 다음과 같다.

위치 관계	내/외분비의 범위
$C$가 $\overline{AB}$ 밖의, $A$와 가까운 쪽에 있음	$-1<(A,B;C)<0$
$C=A$	$(A,B;C)=0$
$C$가 $A$와 $B$ 사이에 있음	$(A,B;C)>0$
$C$는 $\overline{AB}$의 중점	$(A,B;C)=1$
$C=B$	$(A,B;C)=\hat{\mathrm{\infty }}$
$C$가 $\overline{AB}$ 밖의, $B$와 가까운 쪽에 있음	$(A,B;C)<-1$

• 또 다른 점 $O$가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

  $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{1+(A,B;C)}\overrightarrow{OA}+\frac{(A,B;C)}{1+(A,B;C)}\overrightarrow{OB}$

• 내/외분비는 아핀 변환 아래 불변이다. 즉, 아핀 공간의 공선점 $A,B,C$ ($A\ne B$)와 아핀 변환 $\varphi$에 대하여, 다음이 성립한다.
  • $\varphi (A),\varphi (B),\varphi (C)$는 공선점이다.
  • 만약 $\varphi (A)\ne \varphi (B)$라면, $(\varphi (A),\varphi (B);\varphi (C))=(A,B;C)$

예

• 삼각형의 무게중심은 세 중선의 내분점이며, 세 중선에 대한 무게중심의 내분비는 모두 2이다.
• 좌표 공간 위의 두 점 $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)$를 $m:n$의 비율로 내분하는 점의 좌표는 다음과 같다.

  $(\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n},\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n},\frac{m{z}_2+n{z}_1}{m+n})$

• 특히, 이 두 점을 잇는 선분의 중점의 좌표는 다음과 같다.

  $(\frac{x_2+x_1}{2},\frac{y_2+y_1}{2},\frac{z_2+z_1}{2})$

• 또한, 이 두 점을 $m:n$의 비율로 외분하는 점의 좌표는 다음과 같다.

  $(\frac{m{x}_2-n{x}_1}{m-n},\frac{m{y}_2-n{y}_1}{m-n},\frac{m{z}_2-n{z}_1}{m-n})$