꺾인 현 정리

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서, 꺾인 현 정리(틀:Llang)는 주어진 원의 연이어진 두 현으로 이루어진 경로의 중점을 찾는 정리이다.

정의

주어진 원의 호 $ACB$의 중점을 $M$라고 하고, $M\ne C$라고 하자. 또한 $M$을 지나는 현 $AC$와 $BC$ 가운데 더 긴 하나의 수선의 발을 $D$라고 하자. 꺾인 현 정리에 따르면, $D$는 두 현 $AC$와 $BC$로 이루어진 경로의 중점이다.틀:Rp

증명

아르키메데스의 증명

아르키메데스의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 $AC>AB$라고 하자. $M$의 정의에 의하여 $MA=MB$이다. 선분 $AC$의 $A$에서 $C$ 방향의 연장선이 $M$을 중심으로 하고 선분 $MA$와 $MB$를 반지름으로 하는 원과 점 $E$에서 만난다고 하자. 그렇다면, 원래 원과 새로운 원이 공통으로 갖는 호 $AB$에 의하여

$\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }M=2\mathrm{\angle }E$

이며, 따라서 $\mathrm{\angle }CBE=\mathrm{\angle }CEB$이다. 즉, 삼각형 $BCE$에서 $BC=CE$가 성립한다. 직선 $MD$는 원의 중심 $M$을 지나는 현 $AE$의 수선이므로, 점 $D$는 현 $AE$의 중점이다. 즉,

$AD=DE=CD+CE=CD+BC$

이다.

패트루노의 증명

그레그 패트루노(틀:Llang)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 $AC>AB$라고 하자. $M$의 정의에 의하여 $MA=MB$이다. 선분 $MC$는 $M$을 중심으로 하고 선분 $MA$와 $MB$를 반지름으로 하는 원의 현이므로, $\mathrm{\angle }MAC=\mathrm{\angle }MBC$이다. 선분 $AC$ 위에서 $A{C}^{\prime }=BC$인 점 $C^{\prime }$을 잡자. 그렇다면 삼각형 $MA{C}^{\prime }$과 $MBC$는 서로 합동이며, 특히 $M{C}^{\prime }=MC$이다. 또한 직선 $MD$는 직선 $C{C}^{\prime }$의 수선이므로, $C^{\prime }D=CD$이다. 따라서

$AD=A{C}^{\prime }+C^{\prime }D=BC+CD$

이다.

외부 링크

• 틀:매스월드