그로스-피타옙스키 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 응집물질물리학에서 그로스-피타옙스키 방정식(Gross-Питаевский方程式, 틀:Llang)은 여러 개의 비상대론적인 보손의 상호작용을 나타내는 운동 방정식이다. 슈뢰딩거 방정식의 비선형 변형이다.

정의

편의상 $\hslash =1$로 놓자. 외부 퍼텐셜 $V(𝐫)$ 속에서 보손들이 움직이고 있다고 하자. 그렇다면, 그로스-피타옙스키 라그랑지언은 다음과 같다.

$ℒ={\varphi }^{†}(i\frac{\partial }{\partial t}+\frac{1}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2-V(x))\varphi -\frac{1}{2}g(|\varphi {|}^2-{\rho }_0{)}^2$

여기서 각 기호는 다음과 같다.

• $\varphi (x)$는 복소 스칼라장이다.
• $V(x)$는 외부 퍼텐셜이다.
• ${\rho }_0$는 평균 입자수 밀도이다.

이에 따라서, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

$0=(i\frac{\partial }{\partial t}+\frac{1}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2-V(x)-g(|\varphi {|}^2-{\rho }_0))\varphi$

이 방정식을 그로스-피타옙스키 방정식이라고 한다.

성질

이 이론에서는 복소 스칼라장 $\varphi$의 U(1) 대칭이 멕시코 모자 퍼텐셜 $(|\varphi {|}^2-{\rho }_0{)}^2$로 인해 자발 대칭 깨짐을 겪게 된다. 이에 따라, $\varphi$를

$\varphi (x)=\sqrt{{\rho }_0}\exp (i\theta (x)+r(x))$

로 분해하면, $r(x)$는 질량을 갖게 되지만 $\theta (x)$는 무질량의 골드스톤 보손이 된다.

$r(x)$를 적분해 없애면, $\theta (x)$의 유효 이론의 라그랑지언은 다음과 같다.틀:Rp

${ℒ}_{\text{eff}}=\frac{1}{2g^2}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\theta \right)}^2-\frac{{\rho }_0}{2m}(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2+\cdots$

즉, 상호작용을 무시한다면, 유효 빛의 속력이

$c_{\text{eff}}=g\sqrt{{\rho }_0/m}$

인 로런츠 대칭이 낮은 에너지에서 존재한다. 스칼라장 $\theta$는 이 유효 로런츠 대칭에 대하여 무질량 스칼라처럼 행동하며, 따라서 선형 분산 관계를 갖는다. 따라서, 란다우 조건에 따라서 이 계는 $c_{\text{eff}}$ 미만의 속도에서 초유체를 이룬다.

역사

유진 그로스(틀:Llang)와 레프 페트로비치 피타옙스키(틀:Llang) 가 1961년에 도입하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:저널 인용