구부러진 공간

틀:위키데이터 속성 추적 구부러진 공간(틀:Llang)은 종종 유클리드 기하학에서 설명한 것처럼 평평한 공간의 곡률이 0인 "평면"이 아닌 공간 기하학을 나타낸다. 구부러진 공간은 일반적으로 리만 기하학으로 설명할 수 있지만 일부 간단한 경우는 다른 방식으로 설명할 수 있다. 구부러진 공간은 중력이 종종 구부러진 공간으로 시각화되는 일반 상대성이론에서 필수적인 역할을 한다. 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량은 공간 확장과 우주의 모양을 설명하기 위한 현재 기반을 형성하는 계량이다.

간단한 2차원 예

구부러진 공간의 매우 친숙한 예는 구의 표면이다. 우리에게 친숙한 관점에서 볼 때 구체는 3차원으로 보이지만 물체가 표면에 놓이도록 제한되어 있으면 이동할 수 있는 2차원만 있다. 구의 표면은 표면이 아무리 거칠게 보일지라도 부피의 2차원 외부 경계인 표면일 뿐이므로 2차원으로 완전히 설명할 수 있다. 복잡한 프랙탈인 지구 표면조차도 부피 외부를 따라 있는 2차원 경계일 뿐이다.

매장

평평한 공간에서 직각 삼각형의 한 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다. 이 관계는 구부러진 공간에는 적용되지 않는다.

구부러진 공간의 정의의 특성 중 하나는 피타고라스 정리에서 벗어난다는 것이다. 구부러진 공간에서는

$d{x}^2+d{y}^2\ne d{l}^2$.

피타고라스의 관계는 추가 차원으로 공간을 설명함으로써 종종 복원될 수 있다. 좌표 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$가 있는 비유클리드 3차원 공간이 있다고 가정한다. 이 공간은 평평하지 않기 때문에

$dx{\text{'}}^2+dy{\text{'}}^2+dz{\text{'}}^2\ne dl{\text{'}}^2$.

그러나 이제 3차원 공간을 4차원 $(x,y,z,w)$ 좌표로 묘사하면 다음과 같은 좌표를 선택할 수 있다.

$d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2+d{w}^2=d{l}^2$ .

참고로 좌표 $x$는 좌표 $x^{\prime }$와 같지 않다.

4차원 좌표를 원래 3차원 공간의 유효한 설명자로 선택하려면 동일한 자유도를 가져야 한다. 4개의 좌표에는 4개의 자유도가 있으므로 구속 조건이 있어야 한다. 피타고라스 정리가 새로운 4차원 공간에서 유지되도록 제약 조건을 선택할 수 있다. 즉,

$x^2+y^2+z^2+w^2=\text{constant}$.

상수는 양수 또는 음수일 수 있다. 편의상 상수를 다음으로 선택할 수 있다.

${\kappa }^{-1}{R}^2$ 여기서 $R^2$ 지금은 긍정적이고 $\kappa \equiv \pm 1$ .

이제 이 제약 조건을 사용하여 인위적인 네 번째 좌표 $w$를 제거할 수 있다. 구속 방정식의 미분은 다음과 같다.

$xdx+ydy+zdz+wdw=0$ 이므로$dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)$.

$dw$를 원래 방정식에 대입하면

$d{l}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2+\frac{(xdx+ydy+zdz{)}^2}{{\kappa }^{-1}{R}^2-x^2-y^2-z^2}$ .

이 형식은 일반적으로 특별히 매력적이지 않으므로 좌표 변환 $x=r\sin \theta \cos \varphi$, $y=r\sin \theta \sin \varphi$, $z=r\cos \theta$이 종종 적용된다. 이 좌표 변환으로

$d{l}^2=\frac{d{r}^2}{1-\kappa \frac{r^2}{R^2}}+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$ .

매장없이

n차원 공간의 기하학은 리만 기하학으로도 설명할 수 있다. 등방적이고 균질한 공간은 다음 계량

$d{l}^2=e^{-\lambda (r)}d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$ .

으로 설명할 수 있다. $\lambda =0$인 경우 이 공간은 유클리드 공간으로 축소된다. 그러나 바일 텐서의 성분이 모두 0이면 공간이 "평평하다"고 할 수 있다. 3차원에서 이 조건은 리치 텐서 $R_{ab}$는 계량 곱하기 리치 스칼라 ($R$을 이전 절의 R과 혼동하지 말 것). 즉, $R_{ab}=g_{ab}R$. 계량에서 이러한 성분을 계산하면

$\lambda =-\frac{1}{2}\ln (1-k{r}^2)$ 여기서 $k\equiv \frac{R}{2}$.

이는 계량

$d{l}^2=\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$ .

을 제공한다. 여기서 $k$는 0, 양수 또는 음수일 수 있으며 ±1로 제한되지 않는다.

열림, 평평함, 닫힘

등방적이고 균질한 공간은 다음 계량

$d{l}^2=\frac{d{r}^2}{1-\kappa \frac{r^2}{R^2}}+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$ .

으로 설명할 수 있다. 곡률 상수 $R$가 무한대로 커지면 평평한 유클리드 공간으로 수렴한다. 이는 본질적으로 $\kappa$를 0으로 설정하는 것과 동일하다. $\kappa$가 0이 아닌 공간은 유클리드가 아니다. $\kappa =+1$일 때 그 공간은 '닫혀 있다' 또는 타원형이라고 한다. $\kappa =-1$일 때 공간은 '열려' 있다 또는 쌍곡형이라고 한다.

열린 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 작다. 닫힌 공간의 표면에 있는 삼각형은 각의 합이 180°보다 크다. 하지만 부피는 $(4/3)\pi r^3$가 아니다.

같이 보기

• CAT(k) 공간
• 양수가 아닌 곡률

추가 문헌

• The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 42: Curved Space
• 틀:서적 인용

외부 링크

• Curved Spaces, Jeffrey Weeks 가 개발한 다중 연결 우주용 시뮬레이터