교정 가능 집합

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서, 교정 가능 집합(矯正可能集合, 틀:Llang)은 근사 접공간의 개념을 정의할 수 있는 최소한의 구조를 갖춘, 유클리드 공간 속의 부분 집합이다.

정의

유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 속의 부분 집합

$S\subseteq {ℝ}^n$

및 자연수 $k$ 및 함수 집합

$ℱ\subseteq {𝒞}^0({ℝ}^k,{ℝ}^n)$

에 대하여 다음과 같은 조건을 정의할 수 있다.

조건 ㈀: 어떤 가산 집합 $F\subseteq ℱ$에 대하여, $S\setminus \bigcup _{f\in F}f({ℝ}^k)$의 $k$차원 하우스도르프 측도가 0이다.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 $k$차원 교정 가능 집합(틀:Llang)이라고 한다.

• $ℱ={𝒞}^1({ℝ}^k,{ℝ}^n)$가 연속 미분 가능 함수의 집합일 경우의 조건 ㈀
• $ℱ=\mathrm{Lip}({ℝ}^k,{ℝ}^n)$가 립시츠 연속 함수의 집합일 경우의 조건 ㈀

예

평면 속의 단위 정사각형 $◻⊊{ℝ}^2$ 속에서, 그 조밀 집합인 가산 집합 $\{x_0,x_1,\dots \}⊊◻$을 고르자. 또한, 수렴하는 양의 실수의 급수

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_i<\mathrm{\infty }$

를 고르자. 그렇다면, $S$가 $x_i$를 중심으로 하는, 반지름 $r_i$의 원들의 합집합이라고 하자.

$S=\{y\in {ℝ}^2:\mathrm{\exists }i\in \mathbb{N}:d(y,x_i)=r_i\}$

그렇다면, 이는 평면 속의 1차원 교정 가능 집합이다.

외부 링크

• 틀:Eom