관성 모멘트 목록

틀:위키데이터 속성 추적 다음은 관성 모멘트와 단면 이차 모멘트의 목록이다.

관성 모멘트

관성 모멘트는 질량 × 길이² 의 차원을 갖는다. 다음의 목록은 한 알갱이(질점)에 대한 관성 모멘트 $\int r^{2} d m$ 로부터 유도되었다.


설명	관성 모멘트	비고
반지름이 $r$ 이고 질량이 $m$ 인 속이 빈 위 아래로 뚫려있는 원기둥	$I = m r^{2}$	—
안쪽 반지름이 $r_{1}$ , 바깥 반지름이 $r_{2}$ 이고 질량이 $m$ 인 두꺼운 원기둥	$I_{z} = \frac{1}{2} m ({r_{2}}^{2} + {r_{1}}^{2})$ $I_{x} = I_{y} = \frac{1}{12} m [3 ({r_{2}}^{2} - {r_{1}}^{2}) + h^{2}]$ 또는 $t_{n} = \frac{t}{r}$ 이고 $r = r_{2}$ 라고 하면 $I_{z} = m r^{2} (1 - t_{n} + \frac{1}{2} t_{n}^{2})$	—
반지름 $r$ , 높이 $h$ , 질량 $m$ 인 원기둥	$I_{z} = \frac{1}{2} m r^{2}$ $I_{x} = I_{y} = \frac{1}{12} m (3 r^{2} + h^{2})$	—
반지름 $r$ , 질량 $m$ 인 얇은 원판	$I_{z} = \frac{1}{2} m r^{2}$ $I_{x} = I_{y} = \frac{1}{4} m r^{2}$	—
반지름 $r$ , 질량 $m$ 인 구	$I = \frac{2}{5} m r^{2}$	—
반지름 $r$ , 질량 $m$ 인 구 껍질	$I = \frac{2}{3} m r^{2}$	—
반지름 $r$ , 높이 $h$ , 질량 $m$ 인 직원뿔	$I_{z} = (3 / 10) m r^{2}$ $I_{x} = I_{y} = (3 / 5) m (r^{2} / 4 + h^{2})$	—
높이 $h$ , 너비 $w$ , 깊이 $d$ , 질량 $m$ 인 직육면체	$I_{h} = \frac{1}{12} m (w^{2} + d^{2})$ $I_{w} = \frac{1}{12} m (h^{2} + d^{2})$ $I_{d} = \frac{1}{12} m (h^{2} + w^{2})$	모서리 길이 $s$ , 질량 $m$ 인 정육면체의 경우, $I_{C M} = \frac{1}{6} m s^{2}$ .
길이 $L$ , 질량 $m$ 인 막대	$I_{c e n t e r} = \frac{1}{12} m L^{2}$	가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
길이 $L$ , 질량 $m$ 인 막대	$I_{e n d} = \frac{1}{3} m L^{2}$	가느다란 선(강체)에 질량이 분포되어 있다고 가정한 근사값임.
반지름 $a$ , 단면 반지름 $b$ , 질량 $m$ 인 원환체(토러스)	지름에 대해서: $\frac{1}{8} (4 a^{2} + 5 b^{2}) m$ 수직축에 대해서: $(a^{2} + \frac{3}{4} b^{2}) m$	—
꼭짓점이 ${\vec{P}}_{1}$ , ${\vec{P}}_{2}$ , ${\vec{P}}_{3}$ , ..., ${\vec{P}}_{N}$ , 질량 $m$ 인 얇은 다각형 판	$I = \frac{m}{6} \frac{\sum_{n = 1}^{N} \| \| {\vec{P}}_{n + 1} \times {\vec{P}}_{n} \| \| ({\vec{P}}_{n + 1}^{2} + {\vec{P}}_{n + 1} \cdot {\vec{P}}_{n} + {\vec{P}}_{n}^{2})}{\sum_{n = 1}^{N} \| \| {\vec{P}}_{n + 1} \times {\vec{P}}_{n} \| \|}$	$‖ \begin{matrix} {\vec{P}}_{n} \end{matrix} ‖$ 는 ${\vec{P}}_{n}$ 의 크기를 이야기하는 것이다.

단면 이차 모멘트

단면 이차 모멘트는 길이⁴ 을 차원으로 갖는다. 아래는 따로 언급하지 않으면, 도심(또는 질량중심)을 지나는 수평축에 대한 단면 이차 모멘트의 목록이다.

설명	단면 이차 모멘트	비고
반지름 $r$ (지름 D)인 원	$I_{0} = π r^{4} / 4 = π D^{4} / 64$
안쪽 반지름 $r_{1}$ , 바깥쪽 반지름 $r_{2}$ 인 가운데가 빈 원	$I_{0} = \frac{1}{4} π ({r_{2}}^{4} - {r_{1}}^{4})$
단면의 도심과 원의 중심을 지나는 수평축에 대해 각도 $θ$ (라디안), 반지름 $r$ 인 원호	$I_{0} = (θ - \sin θ) \frac{r^{4}}{8}$
반지름 $r$ 인 반원	$I_{0} = (\frac{π}{8} - \frac{8}{9 π}) r^{4}$	단면의 도심을 지나는 축에 대한 값.
반지름 $r$ 인 반원	$I = π r^{4} / 8$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 $4 r / 3 π$ ).
반지름 $r$ 인 반원	$I_{0} = π r^{4} / 8$	단면의 도심을 지나는 수직축에 대한 값.
반지름 $r$ 이고 1사분면에 놓여 있는 사분원	$I = π r^{4} / 16$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
반지름 $r$ 이고 1사분면에 놓여 있는 사분원	$I_{0} = (\frac{π}{16} - \frac{4}{9 π}) r^{4}$	단면의 도심을 지나는 수평 또는 수직축에 대한 값. 평행축 정리에 의해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리는 $4 r / 3 π$ ).
x 반지름 $a$ , y 반지름 $b$ 인 타원	$I_{0} = π a b^{3} / 4$
너비 $b$ , 높이 $h$ 인 직사각형	$I_{0} = b h^{3} / 12$
너비 $b$ , 높이 $h$ 인 직사각형	$I = b h^{3} / 3$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
밑변 $b$ , 높이 $h$ 인 삼각형	$I_{0} = b h^{3} / 36$
밑변 $b$ , 높이 $h$ 인 삼각형	$I = b h^{3} / 12$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 $h / 3$ ).
한 변의 길이가 $a$ 인 육각형	$I_{0} = 5 \sqrt{3} a^{4} / 16$	단면의 도심을 지나는 임의의 수직축, 수평축에 대해서 동일하다.