감쇠비

틀:위키데이터 속성 추적 감쇠비(減衰比, damping ratio)는 보통 ζ (제타)로 표시되는 이계 상미분 방정식의 주파수 응답 특성을 나타내는 값이다.

질량 m, 감쇠계수 c, 강성 k인 감쇠조화진동계의 감쇠비는 다음과 같다.

$\zeta =\frac{c}{2\sqrt{km}}=\frac{c}{2m{\omega }_n}$

미분방정식에서 감쇠비의 의미

감쇠조화진동의 지배방정식은 다음과 같다.

$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0,$이것을 $\ddot{x}$항의 계수$m$으로 나머지 항들을 나누고,

$\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0,$ 계속해서,

고유진동수 ${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$와 감쇠비$2\zeta {\omega }_n=\frac{c}{m}$ 를 도입하고, 소멸미분연산자(Annihilated Differential Operator)를 대입하면,

$x=e^{sx},\dot{x}=s{e}^{sx},\ddot{x}=s^2{e}^{sx}$로 가정하면,

$s^2{e}^{sx}+\frac{c}{m}s{e}^{sx}+\frac{k}{m}{e}^{sx}=0$

$e^{sx}(s^2+\frac{c}{m}s+\frac{k}{m})=0$

${\displaystyle }$따라서, 특성방정식은 다음과 같다.

$s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$

$s$의 해를 찾으려면 2차 방정식에 근의 공식을 대입하면,

$s=\frac{-2\zeta {\omega }_n\pm \sqrt{(2\zeta {\omega }_n{)}^2-4{\omega }_n^2}}{2}$

$s=-\zeta {\omega }_n\pm \frac{\sqrt{2^2{\zeta }^2{\omega }_n^2-2^2{\omega }_n^2}}{\sqrt{2^2}}$

이를 정리하면,

$s=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$

과감쇠(과도감쇠)

특성방정식이 두 개의 실근이 있을 때를 과(도)감쇠(overdamped)라고 하며, 이때 응답은 지수로 감소하며, 진동은 발생하지 않는다.

$x(t)=e^{-\zeta {\omega }_{n}t}[A{e}^{\sqrt{{\zeta }^2-1}{\omega }_{n}t}+B{e}^{-\sqrt{{\zeta }^2-1}{\omega }_{n}t}]$

여기서 A와 B는 초기조건에서 결정되는 상수이다.

임계감쇠

임계감쇠(critically damped)는 감쇠비 $\zeta =1$인 경우로 특성방정식은 하나의 실근(중근)을 가지며, 과감쇠와 저감쇠의 경계가 된다. 과감쇠와 마찬가지로 응답이 지수로 감소하며, 진동이 발생하지 않는다.

초기조건 $x(0)=x_0$, $\dot{x}(0)={\dot{x}}_0$을 갖는 임계감쇠일 땐 미분방정식의 해는 다음과 같다.

$x(t)=e^{-{\omega }_{n}t}[x_0+t^2+{\dot{x}}_{0}t]$

저감쇠(과소감쇠)

특성방정식이 두 개의 허근을 갖는 경우를 저감쇠(과소감쇠)(underdamped)라고 하며, 이 때는 진동이 발생한다. 즉, 응답은 지수로 감소함과 동시에 진동을 한다....

초기조건 $x(0)=x_0$, $\dot{x}(0)={\dot{x}}_0$에 해는,

$x(t)=e^{-\zeta {\omega }_{n}t}[x_0\cos {\omega }_{D}t+\frac{{\dot{x}}_0+\zeta {\omega }_n{x}_0}{{\omega }_D}\sin {\omega }_{D}t]$

여기서 감쇠진동수 ω_D는 다음과 같다.

${\omega }_D={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$

같이 보기

• 감쇠
• 조화진동자