소인수 알고리즘

틀:위키데이터 속성 추적 소인수 FFT 알고리즘(Prime-factor FFT algorithm)이라고도 칭하며, 발견자의 이름을 사용해 Good–Thomas algorithm(1958/1963)으로도 불리는 소인수 알고리즘(Prime-factor Algorithm, PFA)은 중국인의 나머지 정리(Chinese Reminder Theorem, CRT)를 활용한 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘이다. 이 알고리즘은 크기 N = N₁N₂인 신호를 2차원 이산 푸리에 변환(DFT) N = N₁ X N₂ 로 재표현(re-expression)한다. 다만, 여기서 N₁과 N₂는 서로소(relatively prime), 즉 gcd(N₁, N₂)=1이어야 한다.

이 알고리즘의 장점은

회전자(twiddle factor)에 의한 곱셈 연산(multiplication)이 불필요하다. 따라서, 처리 속도가 빠르다.
변환의 in-place, in-order version을 구현하는 것이 가능하다. 즉, 변환된 값들은 메모리에서 입력값들을 바꾼다. 그리고 입력값들이 시간순서일때 출력은 주파수 순서이다.

단점은

앞서 언급한 것처럼 N₁과 N₂는 '서로 소'이어야한다.
중국인의 나머지 정리(CRT)를 사용하기때문에 더 복잡한 색인 재지정(re-indexing)을 수행해야한다.

소인수 알고리즘은 쿨리-튜키 알고리즘의 일반적 형태인 혼합기수(mixed-radix)알고리즘과 결합하여 사용할 수 있어서, 위에서 언급한 특별한 경우만이 아닌 임의의 크기 N 에도 적용할 수 있다. 데이터 크기 N=1000인 경우에 처리 예를 다음 그림에서 보여준다.

알고리즘

신호의 길이가 N일 때 이산 푸리에 변환(DFT)은

f_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} e^{- \frac{2 π i}{N} n k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} W_{N}^{n k} k = 0, \dots, N - 2, N - 1 (1)

신호의 길이가 N = r s인 경우를 생각해 봅니다. r 과 s는 서로소인 두 정수이다(위에서 언급한 N₁, N₂에 해당). 입력과 출력을 재색인화(re-indexing)하고 이를 DFT 공식에 대입하여 크기가 r X s인 2차원 DFT로 변환해 보자. 이와같이 일차원 DFT를 다차원으로 변환하는 것을 다중차원 사상(multi-dimensional mapping) 이라고 한다.

색인 재지정(re-indexing)

정수론의 이론을 이용하여 (식 1) DFT의 입력 쪽 색인 n과 출력 쪽 색인 k를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1) 굿스 매핑(Good's mapping)

n = (n_{1}, n_{0}) \equiv s n_{0} + r n_{1} (mod N) (0 \leq n_{0} \leq r - 1, 0 \leq n_{1} \leq s - 1) (2)

최대공약수 표현 정리에 의하면 각 n에 대해 위 식을 만족하는 정수 n₁과 n₂가 있고, 합동이론에 따라 위의 식을 만족하고 위의 범위에 속하는 정수 n₁과 n₂가 유일하다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이를 루리타니안 매핑(Ruritanian mapping) 또는 굿스 매핑(Good's mapping)이라 한다.

2) CRT 매핑(CRT mapping)

k \equiv k_{0} (mod r) (0 \leq k_{0} \leq r - 1)

k \equiv k_{1} (mod s) (0 \leq k_{1} \leq s - 1) (3)

중국인의 나머지 정리(CRT)에 따르면 모든 쌍 (k₁, k₂)에 대해 (식 3)의 두 방정식을 만족하는 0 과 N-1 사이에 고유한 k가 존재한다. 이를 CRT 매핑이라고 하며, 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

k = (k_{1}, k_{0}) \equiv [s s^{- 1} (mod r) k_{0} + r r^{- 1} (mod s) k_{1}] mod N (4)

n과 k를 위와 같이 (식 3)과 (식 4)로 나타낼 수 있는 이유는r 과 s 가 '서로 소'이기 때문이다. 위의 전개와는 반대로 입력 n을 CRT 매핑하고 출력 k를 Good's 매핑 할 수도 있다.

재표현(re-expression)

위의 두 식 (식 2)와 (식 4)를 (식 1)에 대입하면 식의 회전자(twiddle factor)는 다음 (식 5)와 같은 형태를 가지게 된다.

W_{r s}^{[s n_{0} + r n_{1}] mod N [s s^{- 1} (mod r) k_{0} + r r^{- 1} (mod s) k_{1}] mod N}

회전자 자체가 mod N 의 성질을 가지고 있으므로 지수(exponent)에 나타나는 mod N 은 생략할 수 있다. 즉,

= W_{r s}^{[s n_{0} + r n_{1}] [s s^{- 1} (mod r) k_{0} + r r^{- 1} (mod s) k_{1}]}

= W_{r s}^{s n_{0} s s^{- 1} (mod r) k_{0} + s n_{0} r r^{- 1} (mod s) k_{1} + r n_{1} s s^{- 1} (mod r) k_{0} + r n_{1} r r^{- 1} (mod s) k_{1}}

어떤 임의의 수 m에 대해 $W_{r s}^{m r s} = 1$ 이므로 윗 식 지수항의 두번째, 세번째 항은 생략 할 수 있다.

= W_{r s}^{s n_{0} s s^{- 1} (mod r) k_{0} + r n_{1} r r^{- 1} (mod s) k_{1}}

= W_{r}^{n_{0} s s^{- 1} (mod r) k_{0}} W_{s}^{n_{1} r r^{- 1} (mod s) k_{1}}

r과 s는 '서로 소'이므로 각각의 역수 $r^{- 1}, s^{- 1}$ 이 존재하며 $s s^{- 1} \equiv 1 mod r, r r^{- 1} \equiv 1 mod s$ 이기 때문에, 윗식의 $W_{r}^{s s^{- 1} mod r} = W_{r}^{1}, W_{s}^{r r^{- 1} mod s} = W_{s}^{1}$ 이다. 따라서,

= W_{r}^{n_{0} k_{0}} W_{s}^{n_{1} k_{1}}

(5)

(식 2),(식 4), (식 5)로부터 (식 1)의 이산 푸리에 변환(DFT)은 최종적으로 다음과 같이 2차원으로 재표현된다.

f (k_{1}, k_{0}) = \sum_{n_{1} = 0}^{s - 1} \sum_{n_{0} = 0}^{r - 1} x (n_{1}, n_{0}) W_{r}^{n_{0} k_{0}} W_{s}^{n_{1} k_{1}} (6)

고속 푸리에 변환 위키 페이지에서 볼 수 있는 혼합 기수(mixed-radix) FFT의 다음(식 20)의 회전자 $W_{N_{1} N_{2}}^{k_{1} n_{2}}$ 가 위의 (식 6)에서는 생략된 것을 확인할 수 있다.

H (k_{1}, k_{2}) = \sum_{n_{1} = 0}^{N_{1} - 1} W_{N_{1} N_{2}}^{k_{1} n_{2}} [\sum_{n_{2} = 0}^{N_{2} - 1} h (n_{1}, n_{2}) W_{N_{2}}^{k_{2} n_{2}}] W_{N_{1}}^{k_{1} n_{1}}

= \sum_{n_{1} = 0}^{N_{1} - 1} W_{N_{1} N_{2}}^{k_{1} n_{2}} h^{'} (n_{1}, n_{2}) W_{N_{1}}^{k_{1} n_{1}} (20)

예제

r=3, s=4 인 신호의 소인수 FFT 를 적용해보자. 이 경우 (식 2)는

n = (n_{1}, n_{0}) \equiv 4 n_{0} + 3 n_{1} (mod 1 2) (0 \leq n_{0} \leq 2, 0 \leq n_{1} \leq 3)

이며, (식 4)에서 $r r^{- 1} (mod s) = 3 3^{- 1} (mod 4) = 9, s s^{- 1} (mod r) = 4 4^{- 1} (mod 3) = 4$ 가 성립하므로 k 는

k = (k_{1}, k_{0}) \equiv 4 k_{0} + 9 k_{1} (mod 1 2) (0 \leq k_{0} \leq 2, 0 \leq k_{1} \leq 3)

이 된다. (식 6)은

f (k_{1}, k_{0}) = \sum_{n_{1} = 0}^{3} \sum_{n_{0} = 0}^{2} x (n_{1}, n_{0}) W_{3}^{n_{0} k_{0}} W_{4}^{n_{1} k_{1}}

그럼 $(n_{1}, n_{0})$ 이 변함에 따라 $x (n) = x (n_{1}, n_{0})$ 이 어떻게 2차원 도표로 변하는 지, $(k_{1}, k_{0})$ 에 따라 $f (k) = f (k_{1}, k_{0})$ 는 어떻게 되는 지를 표로 만들어 보자.

1차원 신호 데이터 원본
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
x_n	x₀	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	x₈	x₉	x₁₀	x₁₁

Good's mapping
x(n₁,n₀)		n₀
x(n₁,n₀)		0	1	2
n₁	0	x(0)	x(4)	x(8)
	1	x(3)	x(7)	x(11)
	2	x(6)	x(10)	x(2)
	3	x(9)	x(1)	x(5)

CRT mapping
f(k₁,k₀)		k₀
f(k₁,k₀)		0	1	2
k₁	0	f(0)	f(4)	f(8)
	1	f(9)	f(1)	f(5)
	2	f(6)	f(10)	f(2)
	3	f(3)	f(7)	f(11)

소인수 알고리즘

목차

알고리즘

색인 재지정(re-indexing)

재표현(re-expression)

예제

둘러보기 메뉴

소인수 알고리즘

알고리즘

색인 재지정(re-indexing)

재표현(re-expression)

예제

둘러보기 메뉴

검색