직선과 직선 사이의 거리

틀:위키데이터 속성 추적 직선과 직선 사이의 거리는 평행한 두 직선 사이의 평면상에서 최단 거리를 말한다.

유도와 공식

평행한 두 직선의 방정식을 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다..

y = m x + b_{1}

y = m x + b_{2}

두 직선이 평행하다고 가정했기 때문에, 한 직선에 수직한 선은 다른 한 직선에도 수직이다. 이 때 여러 수직선이 가능한데, 원점을 지나는 수직선을 잡아보자. 이 수직선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

y = - x / m

두 직선 사이의 거리는 이 수직선이 두 직선과 만드는 교점 사이의 거리와 같다. 수직선과 두 직선 사이의 교점은 다음의 두 이원일차연립방정식을 풀어서 알 수 있다.

{\begin{matrix} y = m x + b_{1} \\ y = - x / m \end{matrix}

{\begin{matrix} y = m x + b_{2} \\ y = - x / m \end{matrix}

계산을 통해 얻은 교점은 다음과 같다.

(x_{1}, y_{1}) = (\frac{- b_{1} m}{m^{2} + 1}, \frac{b_{1}}{m^{2} + 1})

(x_{2}, y_{2}) = (\frac{- b_{2} m}{m^{2} + 1}, \frac{b_{2}}{m^{2} + 1})

따라서 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

d = \sqrt{{(\frac{b_{1} m - b_{2} m}{m^{2} + 1})}^{2} + {(\frac{b_{2} - b_{1}}{m^{2} + 1})}^{2}}

이를 정리하면 다음과 같다.

d = \frac{| b_{2} - b_{1} |}{\sqrt{m^{2} + 1}}

두 직선의 방정식을 각각 다음과 같이 써보자.

a x + b y + c_{1} = 0

a x + b y + c_{2} = 0

그러면 위에서 구한 공식에 새로 정의한 상수를 집어넣으면 다음과 같이 정리된다.

d = \frac{| c_{2} - c_{1} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} .

Abstand In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, 틀:ISBN, pp. 17-19 (German)
Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra. Diesterweg, 1988, 틀:ISBN, p. 298 (German)