스핀C 군

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 스핀C 군(spin C群, 틀:Llang)은 스핀 군과 원군의 뒤틀린 곱인 리 군이다. 미분기하학에서 스핀C 다양체를 정의할 때 쓰인다.

정의

자연수 $n$이 주어졌다고 하자. $n$차 스핀C 군 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n)$은 다음 짧은 완전열로 정의된다.

$1\to {\mathbb{Z}}_2\stackrel{\kappa \times \iota }{\hookrightarrow }\mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{U}(1)\twoheadrightarrow \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n)\to 1$.

여기서 $\kappa \times \iota$는 다음 두 군 준동형의 대각 사상이다.

$1\to {\mathbb{Z}}_2\stackrel{\kappa }{\hookrightarrow }\mathrm{Spin}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(n)\to 1$

$1\to {\mathbb{Z}}_2\stackrel{\iota }{\hookrightarrow }\mathrm{U}(1)\twoheadrightarrow \mathrm{U}(1)\to 1$

성질

스핀C 군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족시킨다.

$1\to {\mathbb{Z}}_2\hookrightarrow \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(n)\times \mathrm{U}(1)\to 1$.

즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

$\begin{array}{ccc}& & \mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{U}(1)\\ & \swarrow & \downarrow & \searrow \\ \mathrm{SO}(n)\times \mathrm{U}(1)& & \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n)& & \mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{U}(1)\\ & \searrow & \downarrow & \swarrow \\ & & \mathrm{SO}(n)\times \mathrm{U}(1)\end{array}$

여기서 각 군 준동형의 핵은 $\mathbb{Z}/2$이다.

위상수학적 성질

$n$차 스핀C 군 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n)$은 $n(n-1)/2+1$차원 연결 콤팩트 리 군이다. $n\ge 3$, $n\ne 4$일 때, 낮은 차수의 호모토피 군은

${\pi }_1(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n))\cong 0$

${\pi }_1(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n))\cong \mathbb{Z}$

${\pi }_2(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n))\cong 0$

${\pi }_3(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n))\cong \mathbb{Z}$

이다. ($n=4$일 때는 ${\pi }_3(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(4))\cong {\mathbb{Z}}^2$이다.)

리 대수

스핀C 군에 대응되는 리 대수는 단순히

$𝔩𝔦𝔢(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n))=𝔬(n)\oplus 𝔲(1)$

이다.

표현

$n$차원 스핀 군의 디랙 스피너 표현 $V$를 생각하자. 이는 복소수 $2^{\lfloor n/2\rfloor }$차원 유니터리 표현이다. 즉, 이는 단사 군 준동형

$\mathrm{Spin}(n)\hookrightarrow \mathrm{U}(V)$

을 정의한다. 그런데 또한 군의 중심

$\mathrm{U}(1)\cong \mathrm{Z}(\mathrm{U}(V))\hookrightarrow \mathrm{U}(V)$

을 생각할 수 있으며, 이는 부분군

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n)\hookrightarrow \mathrm{U}(V)$

를 정의한다. (직관적으로, 스피너는 360도 회전하면 −1이 곱해지게 된다.)

외부 링크

• 틀:Nlab