구면 모형

틀:위키데이터 속성 추적 통계역학에서 구면 모형(球面模型, 틀:Llang)은 강자성을 나타내는 간단한 격자 모형이다.틀:Rp 이징 모형과 유사하나, 이징 모형과 달리 임의의 차원에서 정확히 간단히 풀 수 있다. 2차원 이하에서는 상전이를 갖지 않지만, 2차원 초과에서는 상전이를 갖는다. 이 모형의 임계 지수들은 일반적으로 차원에 의존하는 독특한 현상을 보인다.

정의

구면 모형은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 유한 그래프 $\mathrm{\Gamma }$
• 함수 $h:𝖵(\mathrm{\Gamma })\to ℝ$, $i\mapsto h_i$. 이는 외부 자기장을 뜻한다.
• 함수 $\beta :𝖤(\mathrm{\Gamma })\to ℝ$, $ij\mapsto {\beta }_{ij}$. 이는 온도의 역수를 뜻한다.

이 모형에서, 변수는 그래프 꼭짓점 위의 “스핀”의 분포이다. 여기서 “스핀”은 임의의 실수 값을 가질 수 있지만, 모든 스핀들의 제곱평균제곱근은 1이어야 한다.

$\sigma :𝖵(\mathrm{\Gamma })\to ℝ$

$\sum _{i\in 𝖵(\mathrm{\Gamma })}{\sigma }_i^2=|𝖵(\mathrm{\Gamma })|$

즉, 짜임새 공간은 유클리드 공간 ${ℝ}^{𝖵(\mathrm{\Gamma })}$ 속의, 반지름 $\sqrt{|𝖵(\mathrm{\Gamma })|}$의 초구이다.

구형 모형의 분배 함수는 다음과 같다.

$Z_{\mathrm{\Gamma }}(\beta ,h)=\underset{{ℝ}^{𝖵(\mathrm{\Gamma })}}{\int }{\mathrm{d}}^{|𝖵(\mathrm{\Gamma })|}\sigma \exp (\sum _{ij\in 𝖤(\mathrm{\Gamma })}{\beta }_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j+\sum _{i\in 𝖵(\mathrm{\Gamma })}{h}_i{\sigma }_i)$

이는 다음과 같이 표기할 수 있다. 우선, 실수 힐베르트 공간

$\mathscr{H}={ℝ}^{𝖵(\mathrm{\Gamma })}$

위의 연산자

$M:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$

$⟨i|M|j⟩=-{\beta }_{ij}⟨i|{𝖠}_{\mathrm{\Gamma }}|j⟩$

를 정의하자. 여기서 ${𝖠}_{\mathrm{\Gamma }}$는 $\mathrm{\Gamma }$의 인접 행렬이다.

$⟨i|{𝖠}_{\mathrm{\Gamma }}|j⟩=\{\begin{array}{cc}1& ij\in \mathrm{E}(\mathrm{\Gamma })\\ 0& ij\in ̸\mathrm{E}(\mathrm{\Gamma })\end{array}$

즉, 만약 $\beta$가 상수 함수라면 $M=-\beta {𝖠}_{\mathrm{\Gamma }}$이다.

그렇다면, 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.

$\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{\Gamma }}(\beta ,h)& =\frac{1}{2\pi }\underset{{ℝ}^{𝖵(\mathrm{\Gamma })}}{\int }\mathrm{D}\sigma \underset{z+\mathrm{i}ℝ}{\int }\mathrm{d}z\exp (-⟨\sigma |(M+z)|\sigma ⟩+⟨h|\sigma ⟩+z|𝖵(\mathrm{\Gamma })|)\\ \end{array}$

여기서 디랙 델타를

$\delta (⟨\sigma |\sigma ⟩-|𝖵(\mathrm{\Gamma })|)=\underset{a+\mathrm{i}ℝ}{\int }\mathrm{d}z\exp (-z⟨\sigma |\sigma ⟩+z|𝖵(\mathrm{\Gamma })|)(a\gg 1)$

로 표현하였다. 여기서, $a$는 $M+z$의 모든 고윳값의 실수 성분이 양수가 되게 충분히 커야 한다.

즉, 이 경우

$Z_{\mathrm{\Gamma }}(\beta ,h)=\frac{1}{2\pi }\underset{a+\mathrm{i}ℝ}{\int }\mathrm{d}z{Z}_{\mathrm{\Gamma }}(\beta ,h,z)\exp (z|𝖵(\mathrm{\Gamma })|+\frac{1}{4}⟨h|(z+M{)}^{-1}|h⟩)(a\gg 1)$

$Z_{\mathrm{\Gamma }}(\beta ,h,z)=\underset{{ℝ}^{𝖵(\mathrm{\Gamma })}}{\int }\mathrm{D}\sigma \exp (-⟨\sigma |(z+M)|\sigma ⟩)=\frac{{\pi }^{|𝖵(\mathrm{\Gamma })|/2}}{\sqrt{\det (z+M)}}$

이 된다.

즉,

$\begin{array}{cc}{Z}_{\mathrm{\Gamma }}(\beta ,h)& =\frac{1}{2}{\pi }^{|𝖵(\mathrm{\Gamma })|/2-1}\underset{a+\mathrm{i}ℝ}{\int }\mathrm{d}z\exp (z|𝖵(\mathrm{\Gamma })|+\frac{1}{4}⟨h|(z+M{)}^{-1}|h⟩)\det (z+M{)}^{-1/2}(a\gg 1)\\ & =\frac{1}{2}{\pi }^{|𝖵(\mathrm{\Gamma })|/2-1}\underset{a+\mathrm{i}ℝ}{\int }\mathrm{d}z\prod _{\lambda \in \mathrm{Spec}M}\frac{\exp (z+⟨v_{\lambda }|h{⟩}^2/(z+\lambda {)}^{-1})}{\sqrt{z+\lambda }}\end{array}$

이다. 여기서 $v_{\lambda }$는 $M$의 고유 벡터로 구성된 정규 직교 기저이다.

성질

최급강하법 근사

그래프가 매우 큰 경우, 다음과 같이 최급강하법을 사용하여 분배 함수를 근사할 수 있다. 구체적으로, 분배 함수를 다음과 같이 적자.

$Z=\frac{1}{2}{\pi }^{|𝖵(\mathrm{\Gamma })|/2-1}\underset{a+\mathrm{i}ℝ}{\int }\mathrm{d}z\exp (|𝖵(\mathrm{\Gamma })|S_{\mathrm{\Gamma }}(z))$

$S(z)=z+\frac{1}{|𝖵(\mathrm{\Gamma })|}\frac{1}{4}⟨h|(z+\beta {𝖠}_{\mathrm{\Gamma }}{)}^{-1}|h⟩-\frac{1}{2}\ln \det (z+M)|𝖵(\mathrm{\Gamma })|$

이다. 여기서

$\ln \det (z+M)\propto |𝖵(\mathrm{\Gamma })|$

$⟨h|(z+M)|h⟩\propto |𝖵(\mathrm{\Gamma })|$

라고 가정하였다. (예를 들어, 만약 $\mathrm{\Gamma }=({𝖢}_L{)}^{◻d}$가 원환면 그래프($d$개의 순환 그래프들의 그래프 데카르트 곱)이며, 자기장 $h$ 또한 상수 함수라면, 위 조건이 성립한다.)

그렇다면, $|𝖵(\mathrm{\Gamma })|\to \mathrm{\infty }$인 극한에서,

$\frac{1}{|𝖵(\mathrm{\Gamma })|}\ln Z_{\mathrm{\Gamma }}(\beta ,h)\approx \underset{z\in a+\mathrm{i}ℝ}{\max }S(z;\beta ,h)+\frac{1}{2}\ln \pi +o(1)$

가 된다.

원환면 그래프

$\mathrm{\Gamma }=({𝖢}_L{)}^{◻d}$가 크기 $L$의 순환 그래프 ${𝖢}_L$의 $d$겹 그래프 데카르트 곱이라고 하자. 즉, 이는 주기적 경계 조건이 주어진 $d$차원 $L\times \cdots \times L$ 초입방체에 해당한다. 이 경우, $\mathrm{\Gamma }$의 스펙트럼은 다음과 같은 중복집합이다.

$\mathrm{Spec}\mathrm{\Gamma }=\{2\sum _{i=1}^d\cos \frac{2\pi k_i}{L}:k_i\in \{0,1,\dots ,L-1\}\}$

따라서 $\beta$가 상수 함수일 때, $L\to \mathrm{\infty }$ 극한에서, $\ln \det (z+M)$은 따라서 $[0,2\pi {]}^d$ 위의 적분으로 근사될 수 있다.

이러한 그래프에서, 상수 함수 자기장 $h$는 $\mathrm{\Gamma }$의 인접 행렬의 고유 벡터이며, 따라서 이 경우 자기장의 항 역시 계산될 수 있다.

이 경우, 상태 방정식은 다음과 같다.틀:Rp

$2(1-m^2)=\beta g^{\prime }(h/2m+d)$

여기서

• $T=1/\beta$는 온도이다.
• $m=⟨\sigma ⟩$은 $\sigma$의 평균값이다.
• $g(z)$는 다음과 같이 정의되는 함수이다. 이는 $\ln \det (z+{𝖠}_{\mathrm{\Gamma }})$의 적분 근사에서 유래한다.

$g(z)=(2\pi {)}^{-d}\underset{[0,2\pi {]}^d}{\int }{\mathrm{d}}^{d}t\ln (z-\sum _{i=1}^d\cos t_i)$

이 경우

$g^{\prime }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}t\exp (-tz){𝖩}_0(\mathrm{i}t{)}^d$틀:Rp

가 된다. 여기서 ${𝖩}_0(-)$는 0차 베셀 함수이다.

이 경우

$g^{\prime }(d)\{\begin{array}{cc}=\mathrm{\infty }& (0<d\le 2)\\ <\mathrm{\infty }& (2<d)\end{array}$

$g^{″}(d)\{\begin{array}{cc}=\mathrm{\infty }& (0<d\le 4)\\ <\mathrm{\infty }& (4<d)\end{array}$

이다. 따라서,

• $d\le 2$일 때 구면 모형은 상전이를 갖지 않는다.틀:Rp 즉, 퀴리 온도가 0이다.
• $d>2$일 때 구면 모형은 1차 상전이를 갖는다. 즉, 퀴리 온도가 (유한한) 양수이며, 그 역수는

${\beta }_0=\frac{1}{2}{g}^{\prime }(d)$

이다.틀:Rp

$d>2$일 때, 임계 지수들은 다음과 같다.

$\alpha =\{\begin{array}{cc}-\frac{4-d}{d-2}& (2<d<4)\\ 0& (4<d)\end{array}$틀:Rp

$\beta =\frac{1}{2}$틀:Rp

$\gamma =\{\begin{array}{cc}\frac{2}{d-2}& (2<d<4)\\ 1& (4<d)\end{array}$틀:Rp

즉, 이 경우 임계 지수들이 $d$에 의존하게 된다.

이징 모형과의 관계

물리학적으로, 이는 이징 모형의 근사로 여겨질 수 있다. 이징 모형에서 분배 함수는 $|𝖵(\mathrm{\Gamma })|$차원 유클리드 공간 속의 초입방체의 $2N$개 꼭짓점에 대한 합을 취하는 것인데, 이 모형은 이를 대신 비슷한 크기의 초구의 표면에 대한 적분으로 근사한다.

역사

마레크 카츠

1952년에 시어도어 벌린(틀:Llang, 1917-1963)과 마레크 카츠(틀:Llang, 1914-1984)가 도입하였다.