여집합

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서, 집합 A의 여집합(餘集合, 또는 보집합(補集合), 틀:Lang) A^C는, 전체집합 U의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합이다. 집합 B에 대한 A의 차집합(差集合, 틀:Lang) B ∖ A는, B의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합이다.

여집합은 차집합의 특수한 예이다. 반대로 말해, 차집합은 여집합을 일반화한 개념이다.

벤 다이어그램으로 표현한 여집합 A^C

전체집합 U가 정의되었을 때, 그의 부분집합 집합 A의 여집합은 틀:수학 틀:수학 틀:수학 틀:수학 틀:수학 또는 틀:수학로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

$A^C=\{x\in U:x\notin A\}$

다른 말로,

임의의 x ∈ U에 대해, x ∈ A^C일 필요충분조건은 x ∉ A.

여집합의 성질

$(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$

$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$

$A^c\cap A=\mathrm{\varnothing }$

$A-B=A\cap B^c=A^{pure}$

$(A^c{)}^c=A$

$U^c=\mathrm{\varnothing }$

연산

$(\mathrm{\varnothing }\cup A^c)\cup A=\mathrm{\varnothing }\cup (A^c\cup A)=\mathrm{\varnothing }\cup U=U$

$(A\cup A)\cap (A^c\cup A)=(A\cap A^c)\cup A=\mathrm{\varnothing }\cup A=A$

$(A-B)\cap ((B\cup B)\cap (B^c\cup B))=A^{pure}\cap ((B\cap B^c)\cup B)=A^{pure}\cap B=\mathrm{\varnothing }$

$(A-B)\cap (B-A)=(A\cap B^c)\cap (B\cap A^c)=A^{pure}\cap B^{pure}=\mathrm{\varnothing }$

차집합

벤 다이어그램으로 표현한 차집합 틀:개행 금지

집합 B에 대한 A의 차집합은 틀:수학 또는 틀:수학로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

$B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}$

즉

임의의 대상 x에 대해, x ∈ B ∖ A일 필요충분조건은 x ∈ B 또한 x ∉ A.

여집합은 부분집합 관계인 두 집합의 차집합과 같다. U에서의 A의 여집합은 곧 차집합 틀:수학이다.

차집합 연산의 성질에 대해서는 집합대수 글 참고. 다음은 차집합의 간단한 예이다.

• {1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4} = {1}
• {2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3} = {4}

위 문단의 여집합 예시인

• {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {2, 3, 4, 5} = {1, 6}
• $ℝ\setminus \mathbb{Q}=𝕀$

는 차집합의 예시이기도 하다.

같이 보기

• 대칭차