정삼각형 안에 원 채우기

틀:위키데이터 속성 추적 정삼각형 안에 원 채우기는 n개의 단위원을 가장 작은 정삼각형에 넣는 이산수학의 채우기 문제이다. 최적해는 n < 13일 때와 원의 개수가 삼각수일 때 알려져 있으며, n < 28일 때 추측이 가능하다.

에르되시 팔의 추측과 노만 올러는 n이 삼각수일 때, 원이 n − 1 개 일 때와 n 개 일 때 최적해는 한 변의 길이가 같다고 서술했다: 추측에 의하면 원이 n − 1 개 일 때 최적 채우기는 원이 n 개 일 때 최적 육각 채우기에서 하나를 뺀 채우기라고 한다. 이 추측은 n ≤ 15일 때 성립한다.

삼각형의 한 변의 길이의 최소해다:

원의 개수	길이
1	$2\sqrt{3}$ = 3.464...
2	$2+2\sqrt{3}$ = 5.464...
3	$2+2\sqrt{3}$ = 5.464...
4	$4\sqrt{3}$ = 6.928...
5	$4+2\sqrt{3}$ = 7.464...
6	$4+2\sqrt{3}$ = 7.464...
7	$2+4\sqrt{3}$ = 8.928...
8	$2+2\sqrt{3}+\frac{2}{3}\sqrt{33}$ = 9.293...
9	$6+2\sqrt{3}$ = 9.464...
10	$6+2\sqrt{3}$ = 9.464...
11	$4+2\sqrt{3}+\frac{4}{3}\sqrt{6}$ = 10.730...
12	$4+4\sqrt{3}$ = 10.928...
13	$4+\frac{10}{3}\sqrt{3}+\frac{2}{3}\sqrt{6}$ = 11.406...
14	$8+2\sqrt{3}$ = 11.464...
15	$8+2\sqrt{3}$ = 11.464...

비슷한 문제로는 정삼각형을 가능한한 작은 반경을 가지는 정해진 수의 원으로 채우는 것이다.

같이 보기

• 직각이등변삼각형에 원 채우기
  
• Malfatti 원, 정삼각형의 세 원의 최적해를 주는 구조이다