하이젠베르크 스핀 사슬

틀:위키데이터 속성 추적 물리학에서 하이젠베르크 스핀 사슬(틀:Llang)은 1차원 자석의 간단한 양자 역학 모형이다. 양자 적분 가능 모형의 일종이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

자연수 $L \in ℕ$ . 이는 스핀 사슬의 길이이다.
$SU (2)$ 의 복소수 표현 $V = ℂ^{2 s + 1}$ , ${\vec{σ}}_{a b}$ , $a, b \in {1, 2, \dots, 2 s + 1}$ . 이는 스핀 $s \in {0, 1 / 2, 1, 3 / 2, 2, \dots}$ 에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 $s$ 에 대응되는 표현은 $2 s + 1$ 복소수 차원 표현이다.
3×3 실수 대칭 행렬 $J_{i j} \in Mat (3; ℝ)$ .

그렇다면, 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간은 텐서곱

ℋ = V^{\otimes L}

이다. 각 $i \in {1, \dots, L}$ 에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간 $V_{i}$ 및 그 위에만 작용하는 $SU (2)$ 표현 ${\vec{σ}}_{i}$ 를 정의할 수 있다.

$s = 1 / 2$ 일 경우, 그 위의 해밀토니언 연산자는 다음과 같다.

H_{1 / 2} = \frac{1}{ℏ} \sum_{i = 1}^{L} J ({\vec{σ}}_{i}, {\vec{σ}}_{i + 1})

여기서 $i \in {1, 2, \dots, L}$ 은 법 $L$ 로 취급된다. 즉, $L \equiv 0 (\mod L)$ 이다.

특히, 다음과 같은 용어가 사용된다.

만약 J의 세 고윳값 (J1,J2,J3)이 모두 같다면 (즉, J가 O⁡(3) 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXX 스핀 사슬(틀:Llang)이라고 한다.
- 이 경우, 만약 $J_{1} = J_{2} = J_{3} > 0$ 이 양수라면 이는 강자성 XXX 스핀 사슬(強磁性XXX spin사슬, 틀:Llang)이라고 한다.
- 이 경우, 만약 $J_{1} = J_{2} = J_{3} < 0$ 이 음수라면 이는 반강자성 XXX 스핀 사슬(反強磁性XXX spin사슬, 틀:Llang)이라고 한다.
만약 $J$ 의 세 고윳값 $(J_{1}, J_{2}, J_{3})$ 가운데 두 개가 같다면 (즉, $J$ 가 $O (2)$ 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬(틀:Llang)이라고 한다.
만약 $J$ 의 세 고윳값 $(J_{1}, J_{2}, J_{3})$ 이 모두 서로 다르다면 (즉, $J$ 의 안정자군이 자명군이라면), 이를 하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬(틀:Llang)이라고 한다.

또한, 사용되는 스핀 $s$ 를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX_½ 스핀 사슬”은 $J_{1} = J_{2} = J_{3}$ 이며, $s = 1 / 2$ 인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다.

하이젠베르크 XXX_½ 스핀 사슬의 해밀토니언 연산자는 $z$ 방향 총 스핀 연산자

S_{z} = \sum_{i = 1}^{L} σ_{i}^{z}

와 가환하며, 이를 마그논 수로 해석할 수 있다.

하이젠베르크 XXX_s 스핀 사슬의 $N$ -마그논 베테 방정식은 다음과 같다.

\prod_{m \in {1, \dots, N} ∖ {n}} \frac{λ_{n} - λ_{m} + i}{λ_{n} - λ_{m} - i} = {(\frac{λ_{n} + i s}{λ_{n} - i s})}^{L} \forall n \in {1, \dots, N}

베르너 하이젠베르크가 1928년에 도입하였다.^[1] 곧 1931년에 한스 베테가 XXX 스핀 사슬을 베테 가설 풀이(틀:Llang)를 도입하여 풀었다.^[2]

Rodney J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, London, Academic Press, 1982