기븐스 회전

틀:위키데이터 속성 추적 기븐스 회전(Givens rotation)은 $G(i,j,\theta )\cdot x$는 $\theta$라디안의$(i,j)$ 평면에서 벡터$x$의 반 시계 방향 회전을 나타내므로 기븐스 회전이라 명명된다.

수치 해석및선형 대수학에서 기븐스 회전의 주요 용도는 벡터 또는 행렬에 $0$을 도입하는 것이다. 이 효과는 예를 들어 행렬의 QR 분해를 계산하는 데 사용될 수 있다. 하우스홀더 변환에 비해 장점은 쉽게 병렬처리할 수 있다는 것이다. 또는 비교적 매우 적은 수의 행렬 연산으로 작동된다는 점이다.

성질

${\left(\begin{array}{cc}c& s\\ -s& c\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}r& 0\end{array}\right)$

$r=\sqrt{a^2+b^2},$

$c=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},s=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

3차원의 기븐스 회전

기븐스 회전(Givens rotation)은 상삼각행렬을 위한 특정한 위치의 값을 $0$으로하는 행렬을 유도할 수 있다.

$R_X(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

$R_Y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]\to \begin{array}{c}\\ R_Y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& -\sin \theta \\ 0& 1& 0\\ \sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{c}\\ R_Z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

예

$A_1=\left[\begin{array}{ccc}6& 5& 0\\ 5& 1& 4\\ 0& 4& 3\end{array}\right]$

기븐스 회전의 두번 반복 (여기서는 $3$행$3$열의 성분이 이미$0$이다)을 수행하여 QR 분해를 계산하기위한 상삼각행렬을 산출한다.

필요한 행렬을 만들기 위해서는 성분$(2,1)$과 $(3,2)$를 제로화해야한다. 먼저 성분$(2,1)$를 $0$으로 선택하여,

회전 행렬을 적용하면,

$G_1=\left[\begin{array}{ccc}c& -s& 0\\ s& c& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\begin{array}{cc}{G}_1{A}_1& =A_2\\ & =\left[\begin{array}{ccc}c& -s& 0\\ s& c& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6& 5& 0\\ 5& 1& 4\\ 0& 4& 3\end{array}\right]\end{array}$

$r=\sqrt{6^2+5^2}\approx 7.8102$

$c=6/r\approx 0.7682$

$s=-5/r\approx -0.6402$

$A_2\approx \left[\begin{array}{ccc}7.8102& 4.4813& 2.5607\\ 0& -2.4327& 3.0729\\ 0& 4& 3\end{array}\right]$

이제 프로세스를 끝내기 위해 $(3,2)$성분을 제로로 만든다. 이전과 같은 아이디어를 사용하여 회전 행렬을 적용한다.

$G_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& c& -s\\ 0& s& c\end{array}\right]$

$\begin{array}{cc}{G}_2{A}_2& =A_3\\ & \approx \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& c& -s\\ 0& s& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}7.8102& 4.4813& 2.5607\\ 0& -2.4327& 3.0729\\ 0& 4& 3\end{array}\right]\end{array}$

$r\approx \sqrt{(-2.4327{)}^2+4^2}\approx 4.6817$

$c\approx -2.4327/r\approx -0.5196$

$s\approx -4/r\approx -0.8544$

$A_3\approx \left[\begin{array}{ccc}7.8102& 4.4813& 2.5607\\ 0& 4.6817& 0.9664\\ 0& 0& -4.1843\end{array}\right]=R$

이 새로운 행렬 $A_3$ 은 QR 분해을 수행하는데 필요한 상삼각행렬 $R$이다.

$Q$는 이제 다음과 같은 방식으로 회전 행렬의 전치를 사용하여 형성된다.

$Q=G_1^T{G}_2^T$

$Q\approx \left[\begin{array}{ccc}0.7682& 0.3327& 0.5470\\ 0.6402& -0.3992& -0.6564\\ 0& 0.8544& -0.5196\end{array}\right]$

$QR=A$

같이 보기

• QR 분해

참고 자료

• 플래닛매스(http://planetmath.org/givensrotation)