띠행렬

띠행렬

행렬론에서 띠행렬(-行列, 틀:Llang)은 모든 0이 아닌 성분이 주대각선 주변에 집중된 희소 행렬이다.

정의

환 $R$의 원소를 성분으로 하는 $m\times n$ 행렬 $M$의 하대역폭(下帶域幅, 틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $p$이다.틀:Rp

• 만약 $i>j+p$라면, $M_{ij}=0$이다.

환 $R$의 원소를 성분으로 하는 $m\times n$ 행렬 $M$의 상대역폭(上帶域幅, 틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $p$이다.틀:Rp

• 만약 $j>i+p$라면, $M_{ij}=0$이다.

환 $R$의 원소를 성분으로 하는 $m\times n$ 행렬 $M$의 대역폭(帶域幅, 틀:Llang)은 $M$의 하대역폭이자 상대역폭인 가장 큰 음이 아닌 정수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 가장 큰 음이 아닌 정수 $k$이다.

• 만약 $|i-j|>k$라면, $M_{ij}=0$이다.

예를 들어, 하대역폭 2 및 상대역폭 1를 갖는 9×4 띠행렬은 다음과 같은 꼴이다 ($M_{ij}\in R$).

$\left(\begin{array}{cccc}{M}_{11}& M_{12}& 0& 0\\ M_{21}& M_{22}& M_{23}& 0\\ M_{31}& M_{32}& M_{33}& M_{34}\\ 0& M_{42}& M_{43}& M_{44}\\ 0& 0& M_{53}& M_{54}\\ 0& 0& 0& M_{64}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

예

특수한 하대역폭·상대역폭을 갖는 띠행렬에는 다음과 같은 이름이 붙는다.틀:Rp

하대역폭	상대역폭	이름
0	0	대각 행렬
0	1	상쌍대각 행렬(틀:Llang)
1	0	하쌍대각 행렬(틀:Llang)
1	1	3중 대각 행렬(틀:Llang)
2	2	5중 대각 행렬(틀:Llang)
3	3	7중 대각 행렬(틀:Llang)
0	$n-1$	상삼각 행렬
$m-1$	0	하삼각 행렬
1	$n-1$	상헤센베르크 행렬
$m-1$	1	하헤센베르크 행렬

응용

띠저장

컴퓨팅에서, 좁은 대역폭의 띠행렬을 더 작은 크기의 행렬로서 저장하여 행렬 알고리즘의 저장 효율을 높일 수 있다. 이를 띠저장(-貯藏, 틀:Llang)이라고 한다.

구체적으로, 하대역폭 $p$ 및 상대역폭 $q$를 갖는 $n\times n$ 띠행렬 $M$은 다음과 같은 $(p+q+1)\times n$ 행렬 $\mathrm{band}(M)$에 대응하며, 만약 $p,q\ll n$일 경우 이는 원래의 행렬보다 훨씬 작다.틀:Rp

$\mathrm{band}(M{)}_{ij}=\{\begin{array}{cc}{M}_{i+j-q-1,j}& i+j-q-1\in \{1,\dots ,m\}\\ 0& i+j-q-1\in ̸\{1,\dots ,m\}\end{array}$

예를 들어, 하대역폭 1 및 상대역폭 1를 갖는 6×6 띠행렬

$M=\left(\begin{array}{cccccc}{M}_{11}& M_{12}& 0& 0& 0& 0\\ M_{21}& M_{22}& M_{23}& 0& 0& 0\\ 0& M_{32}& M_{33}& M_{34}& 0& 0\\ 0& 0& M_{43}& M_{44}& M_{45}& 0\\ 0& 0& 0& M_{54}& M_{55}& M_{56}\\ 0& 0& 0& 0& M_{65}& M_{66}\end{array}\right)$

은 다음과 같은 3×6행렬로 저장할 수 있다.

$\mathrm{band}(M)=\left(\begin{array}{cccccc}0& M_{12}& M_{23}& M_{34}& M_{45}& M_{56}\\ M_{11}& M_{22}& M_{33}& M_{44}& M_{55}& M_{66}\\ M_{21}& M_{32}& M_{43}& M_{54}& M_{65}& 0\end{array}\right)$

같이 보기

• 대각 행렬

외부 링크

• 틀:매스월드