뤼카 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 뤼카 다항식(틀:Llang)은 에두아르 뤼카의 이름을 딴 다항식열이다. 피보나치 다항식과 점화식이 같다. 뤼카 수(틀:Llang)는 뤼카 다항식에 1을 대입하여 얻는 정수열이다. 피보나치 수와 점화식이 같다.

정의

제2종 뤼카 수열을 $V_{n} (P, Q)$ 로 쓰자.

뤼카 다항식

뤼카 다항식 $L_{n} (x)$ 은 $V_{n} (2, x)$ 와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

L_{0} (x) = 2

L_{1} (x) = x

L_{n} (x) = x L_{n - 1} (x) + L_{n - 2} (x)

뤼카 수

뤼카 수 $L_{n}$ 은 $L_{n} (1)$ 와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

L_{0} = 2

L_{1} = 1

L_{n} = L_{n - 1} + L_{n - 2}

처음 몇 뤼카 수는 다음과 같다.

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, ... 틀:OEIS

위 점화식을 음수 $n$ 에게도 적용하여 뤼카 수를 확장할 수 있다. 이 경우 0번째, -1번째, ... 뤼카 수는 다음과 같다.

1, 2, -1, 3, -4, 7, -11, 18, -29, 47, -76, 123, -199, 322, -521, ... 틀:OEIS

성질

일반항

뤼카 다항식의 일반항은 다음과 같다.

L_{n} (x) = {(\frac{x + \sqrt{x^{2} + 4}}{2})}^{n} + {(\frac{x - \sqrt{x^{2} + 4}}{2})}^{n} = \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} \frac{n}{n - k} \frac{(n - k)!}{k! (n - 2 k)!} x^{n - k}

여기서 $⌊ - ⌋$ 는 바닥 함수이다. 특히 뤼카 수의 일반항은 다음과 같다.

L_{n} = ⌊ φ^{n} + 1 / 2 ⌋ = φ^{n} + (- φ)^{- n} = {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}

여기서 $φ$ 는 황금비이다.

항등식

다음과 같은 항등식이 성립한다.

L_{- n} = (- 1)^{n} L_{n}

생성 함수

뤼카 다항식의 생성 함수는 다음과 같다.

\sum_{n = 0}^{\infty} L_{n} (t) x^{n} = \frac{1 + x^{2}}{1 - t x - x^{2}}

특히 뤼카 수의 생성 함수는 다음과 같다.

\sum_{n = 0}^{\infty} L_{n} x^{n} = \frac{1 + x^{2}}{1 - x - x^{2}}

뤼카 소수

뤼카 소수(틀:Llang)는 다음과 같다.

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... 틀:OEIS

뤼카 소수의 첨수는 다음과 같다.

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ... 틀:OEIS

뤼카 소수의 첨수는 항상 0이거나 소수이거나 2의 거듭제곱이다. 뤼카 소수가 무한히 많다는 추측이 있다.^[1]

역사

프랑스 수학자 에두아르 뤼카의 이름을 땄다.

같이 보기

피보나치 수

각주

틀:각주

외부 링크

↑ 틀:웹 인용

[1] 틀:웹 인용

[1]

뤼카 다항식

목차

정의