표준 오차

표준 오차(標準誤差, 틀:Llang)는 통계의 표본 분포의 표준 편차이다. 평균의 표준 오차(平均- 標準誤差, 틀:Llang)는 표본 평균 분포의 표준 편차를 가리킨다. 표준오차는 단관측에 대한 표준편차를 $\sqrt{n}$로 나눈 것과 같다. $\overline{x}$를 표본 평균, ν를 잔차라 할 때,

$\sigma =\pm \sqrt{\frac{\mathrm{\Sigma }(x-\overline{x}{)}^2}{n(n-1)}}=\pm \sqrt{\frac{\mathrm{\Sigma }{\nu }^2}{n(n-1)}}$

만일 경중률이 다르다면 다음과 같이 계산한다. 경중률을 w라 할 때,

$\sigma =\pm \sqrt{\frac{\mathrm{\Sigma }w(x-\overline{x}{)}^2}{(\mathrm{\Sigma }w)(n-1)}}=\pm \sqrt{\frac{\mathrm{\Sigma }w{\nu }^2}{(\mathrm{\Sigma }w)(n-1)}}$

모 평균에 대한 표준 오차(standard error of the mean, SEM)는

${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$이다.

σ는 모집단 표준편차(standard deviation), n은 모집단의 크기

${\sigma }_{\overline{x}}\approx \frac{s}{\sqrt{n}}$

표본 표준 편차 s를 이용하여 근사값으로 구하기

${\text{s}}_{\overline{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$

s는 표본의 표준편차(standard deviation), n은 표본의 크기

표본 평균에 대한 표준 편차는 표본 평균의 오차에 대한 표준 편차와 동일하다. 이러한 맥락은 중심극한정리(CLT)를 의미한다.

중심극한정리의 예

모집단에서 취한 표본 평균값의 분포는 표본 수가 커질수록 평균값을 중심으로 하는 정규 분포에 가까워진다고하는 중심극한정리(中心極限定理)의 예는 다음과 같다.

표준편차의 정의에 의해서 확률변수 $X$의 모 집단의 표준 편차 ${\sigma }_X$가

${\sigma }_X=\sqrt{\mathrm{E}((X-\mathrm{E}(X){)}^2)}$ 일때

분산의 정의에 의해서 확률변수 $X$의 기댓값(혹은 평균) $\mu =\mathrm{E}(X)$ 일 때, 분산 $\mathrm{var}(X)$는 다음과 같다.

$\mathrm{var}(X)=\mathrm{E}((X-\mu {)}^2)$

따라서 표본 평균(sample mean) $\bar{X}$는

${\sigma }_X^2=\mathrm{E}\left({(\bar{X}-\mathrm{E}\left(\bar{X}\right))}^2\right)$

$var\left(\bar{X}\right)={\sigma }_X^2$

$var\left(\frac{X_1+X_2+X_3+\cdots +X_n}{n}\right)={\sigma }_X^2$

$var\left(\frac{1}{n}(X_1+X_2+X_3+\cdots +X_n)\right)={\sigma }_X^2$

$\frac{1}{n}\left(var\left(\frac{1}{n}(X_1+X_2+X_3+\cdots +X_n)\right)\right)=\frac{1}{n}\left({\sigma }_X^2\right)$

$\frac{1}{n^2}\left(var(X_1+X_2+X_3+\cdots +X_n)\right)=\frac{{\sigma }_X^2}{n}$

$\frac{1}{n^2}(var(X_1)+var(X_2)+var(X_3)+\cdots +var(X_n))=\frac{{\sigma }_X^2}{n}$

$\frac{1}{n^2}var(X_1)+\frac{1}{n^2}var(X_2)+\frac{1}{n^2}var(X_3)+\cdots +\frac{1}{n^2}var(X_n)=\frac{{\sigma }_X^2}{n}$

$\frac{1}{n^2}{\sigma }_X^2+\frac{1}{n^2}{\sigma }_X^2+\frac{1}{n^2}{\sigma }_X^2+\cdots +\frac{1}{n^2}{\sigma }_X^2=\frac{{\sigma }_X^2}{n}$

$\left(\frac{1+1+1+\cdots +1}{n^2}\right){\sigma }_X^2=\frac{{\sigma }_X^2}{n}$

$\frac{n}{n^2}{\sigma }_X^2=\frac{{\sigma }_X^2}{n}$

$\frac{1}{n}{\sigma }_X^2=\frac{1}{n}{\sigma }_X^2$

${\sigma }_X^2={\sigma }_X^2$

같이 보기

• 변동 계수
• 표본 평균의 분포
• Z검정