아이디얼화 부분 모노이드

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서, 아이디얼화 부분 모노이드(ideal化部分monoid, 틀:Llang)는 모노이드의 주어진 부분 집합의 원소의 왼쪽 및 오른쪽에 곱하여도 여전히 그 부분 집합에 속하도록 하는 모노이드 원소들로 구성된 부분 모노이드이다.

정의

모노이드 $M$의 부분 집합 $S\subseteq M$의 아이디얼화 부분 모노이드 ${\mathrm{I}}_M(S)$는 다음과 같은 부분 집합이다.

${\mathrm{I}}_M(S)=\{m\in M:mS\cup Sm\subseteq S\}$

이는 $M$의 부분 모노이드를 이룬다. 마찬가지로, 다음과 같은 두 부분 집합 역시 부분 모노이드를 이룬다.

${\mathrm{LI}}_M(S)=\{m\in M:mS\subseteq S\}$

${\mathrm{RI}}_M(S)=\{m\in M:Sm\subseteq S\}$

물론,

${\mathrm{I}}_M(S)={\mathrm{LI}}_M(S)\cap {\mathrm{RI}}_M(S)$

이다.

가환 모노이드의 경우, 물론 왼쪽 · 오른쪽을 구별할 필요가 없다.

성질

군

군의 부분 집합의 경우, 일반적으로 ${\mathrm{I}}_G(S)$ 및 ${\mathrm{LI}}_G(S)$ 및 ${\mathrm{RI}}_G(S)$ 가운데 어느 것도 부분군을 이룰 필요는 없으며, 다음이 성립한다.

${({\mathrm{LI}}_G(S))}^{-1}={\mathrm{RI}}_G(S)$

유한군 $G$의 부분 집합 $S\subseteq G$의 경우, 다음이 성립한다.

${\mathrm{I}}_G(S)=\{g\in G:gS=S=Sg\}$

${\mathrm{LI}}_G(S)=\{g\in G:gS=S\}$

${\mathrm{RI}}_G(S)=\{g\in G:Sg=S\}$

이에 따라, 유한군의 경우 이들은 각각 부분군을 이룬다. 즉, 이 경우 ${\mathrm{LI}}_G(S)$와 ${\mathrm{RI}}_G(S)$는 (일종의) $S$의 대칭들을 나타낸다.

환

환 $R$의 부분 덧셈 아벨 군 $A\subseteq R$가 주어졌다고 하자. 이 경우, $A$의 아이디얼화 부분 모노이드 ${\mathrm{I}}_R(A)$는 $A$를 포함하는 최소의 양쪽 아이디얼이다. 마찬가지로, ${\mathrm{LI}}_R(A)$는 $A$를 포함하는 최소의 왼쪽 아이디얼이며, ${\mathrm{RI}}_R(A)$는 $A$를 포함하는 최소의 오른쪽 아이디얼이다.

만약 $A$가 추가로 $R$의 부분환을 이룬다면 (특히, 1을 포함한다면), ${\mathrm{I}}_R(A)$ 역시 $R$의 부분환을 이룬다.

같이 보기

• 중심화 부분 모노이드
• 정규화 부분군