화환곱

틀:위키데이터 속성 추적 군론과 반군론에서 화환곱(花環-, 틀:Llang)은 군이나 반군의 작용이 갖추어진 집합에 대한 합성 연산이다.

정의

반군 $G$ 가 오른쪽에서 작용하는 집합 $A$ 와 반군 $H$ 가 오른쪽에서 작용하는 집합 $B$ 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 집합 $G^{B} \times H$ 위에 다음과 같은 반군 구조를 줄 수 있다.

((g_{b})_{b \in B}, h) \cdot ((g'_{b})_{b \in B}, h^{'}) = ((g_{b} g'_{b \cdot h})_{b \in B}, h h^{'})

이 반군은 $A \times B$ 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

(a, b) \cdot ((g_{b^{'}})_{b^{'} \in B}, h) = (a \cdot g_{b}, b \cdot h)

이를 $(G, A)$ 와 $(H, B)$ 의 화환곱이라고 하며,

(G, A) ≀ (H, B)

로 표기한다.

화환곱은 결합 법칙을 따른다. 즉, 반군 작용이 갖추어진 집합 $(G, A)$ , $(H, B)$ , $(K, C)$ 이 주어졌을 때

(G, A) ≀ ((H, B) ≀ (K, C)) ≅ ((G, A) ≀ (H, B)) ≀ (K, C)

이다.

화환곱 $(G_{1}, A_{1}) ≀ \dots ≀ (G_{k}, A_{k})$ 에서, 모든 $G_{i}$ 가 군을 이룬다면, 그 화환곱 역시 군을 이룬다.

크라스너-칼루주닌 매장 정리(틀:Llang)에 따르면, 군의 짧은 완전열

1 \to N \to G \to Q \to 1

가 주어졌고, 각 군은 스스로 위에 작용한다고 여겼을 때, $N ≀ Q$ 는 $G$ 를 부분군으로 가진다. 반군의 경우, 위와 유사한 크론-로즈 정리(틀:Llang)가 존재한다.