그로모프-위튼 불변량

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 그로모프-위튼 불변량(Громов-Witten不變量, 틀:Llang)은 주어진 심플렉틱 다양체 위의 정칙 곡선의 수를 헤아리는 불변량이다. 위상 끈 이론의 A모형의 관측 가능량이다.

정의

$(M,\omega )$이 $2d$차원 콤팩트 심플렉틱 다양체이며, $\alpha \in {\mathrm{H}}_2(M;\mathbb{Z})$이 주어졌다고 하자.

안정 사상의 모듈러스 공간

${ℳ}_{g,n}$이 $n$개의 점들이 주어진 종수 $g$의 리만 곡면의 모듈러스 스택이라고 하자. $M$ 위에 심플렉틱 구조 $\omega$와 호환되는 임의의 개복소구조 $J$를 주고, ${ℳ}_{g,n}(M;\alpha )$가 안정 사상(틀:Llang) $f:{\mathrm{\Sigma }}_g\to M$ 가운데, $f({\mathrm{\Sigma }}_g)\simeq \alpha$인 것들의 모듈라이 공간이라고 하자.

${ℳ}_{g,n}(M;\alpha )$의 차원은 다음과 같다.

$\dim {ℳ}_{g,n}(M;\alpha )=2c_1^M(\alpha )+(2d-6)(1-g)+2n$

${ℳ}_{g,n}(M;\alpha )$의 점들은 다음과 같은 꼴이다.

$(\mathrm{\Sigma },z_1,\dots ,z_n,f)$

여기서 $\mathrm{\Sigma }$는 종수 $g$의 리만 곡면이며, $z_1,\dots ,z_n\in \mathrm{\Sigma }$은 리만 곡면 위의 점들이며, $f:\mathrm{\Sigma }\to M$은 $J$에 대하여 정칙 사상이다.

그로모프-위튼 불변량

다음과 같은 값매김 사상(틀:Llang)이 존재한다.

$\mathrm{ev}:{ℳ}_{g,n}(M;\alpha )\to {ℳ}_{g,n}\times M^n$

$\mathrm{ev}:(\mathrm{\Sigma },z_1,\dots ,z_n,f)\mapsto (\mathrm{\Sigma },f(z_1),\dots ,f(z_n))$

그렇다면 $M$의 그로모프-위튼 호몰로지류 ${\mathrm{GW}}_{g,n}^{M,\alpha }$은 $M$의 기본류의 값매김 사상에 대한 상이다.

${\mathrm{GW}}_{g,n}^{M,\alpha }=\mathrm{ev}([M])\in {\mathrm{H}}_{\dim {ℳ}_{g,n}(X,\alpha )}({ℳ}_{g,n}\times M^n;\mathbb{Q})$

임의의 호몰로지류

$\beta \in {ℳ}_{g,n}$

${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n\in \mathrm{H}(M;\mathbb{Z})$

에 대하여, 그로모프-위튼 불변량은 다음과 같은 유리수이다.

${\mathrm{GW}}_{g,n}^{M,\alpha }(\beta ,{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n)=\mathrm{PD}({\mathrm{GW}}_{g,n}^{M,\alpha })(\beta \times {\gamma }_1\times \cdots \times {\gamma }_n)\in \mathbb{Q}$

여기서 $\mathrm{PD}$는 푸앵카레 쌍대를 뜻한다.

그로모프-위튼 불변량 ${\mathrm{GW}}_{g,n}^{M,\alpha }(\beta ,{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n)$은 정칙 사상 $f:{\mathrm{\Sigma }}_g\to M$ 가운데

• $f([{\mathrm{\Sigma }}_g])\simeq \alpha$
• ${\mathrm{\Sigma }}_g\in \beta$
• $f(z_i)\in {\gamma }_i$

인 것들의 수를 센다. 이는 가상적(틀:Llang) 수이며, 따라서 음수이거나 유리수일 수 있다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 양자 코호몰로지
• 위상 끈 이론