카탈랑 상수

카탈랑 상수(Catalan's constant)는 외젠 샤를 카탈랑에 의해 정의된 상수로 조합론에서 쓰인다.

정의

카탈랑 상수는 다음과 같이 정의된다.

G = β (2) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{2}} = \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} - \frac{1}{7^{2}} + \dots

여기서 β는 디리클레 베타 함수를 의미한다.

카탈랑 상수의 값은 다음과 같다. 틀:OEIS

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

카탈랑 상수의 값은 소숫점 아래 6천 억 자리까지 계산되었으나 이 수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다.

카탈랑 상수는 적분을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

G = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2} y^{2}} d x d y

G = - \int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^{2}} d t

G = \int_{0}^{π / 4} \frac{t}{\sin t \cos t} d t

G = \frac{1}{4} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{t}{\sin t} d t

G = \int_{0}^{π / 4} \ln (\cot (t)) d t

G = \int_{0}^{\infty} \arctan (e^{- t}) d t

G = \int_{1}^{\infty} \frac{\ln t}{1 + t^{2}} d t

카탈랑 상수 틀:Mvar의 알려진 세계 신기록 자릿수는 지난 몇십년간 급격하게 증가하였다. 이는 컴퓨터 성능의 향상과 알고리즘적 개선으로 인한 것이다.^[1]