스틸티어스 변환

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 스틸티어스 변환(틀:Llang)은 모멘트들을 로랑 급수의 계수로 갖는 적분 변환이다.

정의

실수 구간 $I$ 위에 정의된 함수 $f:I\to ℝ$의 스틸티어스 변환은 다음과 같다.

$S_f:ℂ\setminus ℝ\to ℂ$

$S_f(z)=\underset{I}{\int }\frac{f(t)dt}{z-t}$

만약 $f$가 연속 함수라면, 다음과 같이 역 스틸티어스 변환으로 원래 함수를 되찾을 수 있다.

$f(t)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\frac{S_f(t-iϵ)-S_f(t+iϵ)}{2i\pi }$

이는 유수 정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.

응용

일부 경우, 스틸티어스 변환의 로랑 급수는 $f$의 모멘트들을 계수로 갖는다.

$m_n=\underset{I}{\int }{t}^{n}f(t)dt$

$S_f=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{m_n}{z^{n+1}}$

이는

$S_f=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{m_n}{z^{n+1}}=\underset{I}{\int }dtf(t)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^n/z^{n+1}=\underset{I}{\int }dt\frac{f(t)}{z-t}$

이기 때문이다.

외부 링크

• 틀:Eom