베주 항등식

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 베주 항등식(틀:Llang)은 두 정수의 최대공약수를 원래 두 수의 배수의 합으로 나타낼 수 있다는 정리다.

정의

주 아이디얼 정역 $R$ 속의 원소 $a, b \in R$ 가 주어졌고, $d$ 가 $a$ 와 $b$ 의 최대공약수의 하나라고 하자.

그렇다면, 다음 등식을 성립하게 하는 원소 $m, n \in R$ 가 존재한다.

m a + n b = d

틀:증명 $R$ 가 주 아이디얼 정역이라고 하고, $a, b \in R$ 라고 하며 $d \in R$ 가 그 최대공약수의 하나라고 하자. $R$ 가 주 아이디얼 정역이므로 $R a + R b$ 는 주 아이디얼이다. 즉,

R a + R b = R c

인 $c \in R$ 가 존재한다. 최대공약수의 정의에 따라

R a + R b \subset R d \subset R c = R a + R b

이다. 따라서

R a + R b = R d

이며,

m a + n b = d

인 $m, n \in R$ 가 존재한다. 틀:증명 끝

에티엔 베주가 증명하였다.