지수 적분 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 지수 적분 함수(指數積分函數, 틀:Llang)은 특수 함수의 하나이며, $\frac{e^x}{x}$의 역도함수이다.

정의

0아닌 실수 $x$에 대하여, 지수 적분 함수 $\mathrm{Ei}(x)$은 다음과 같이 정의된다.

$\mathrm{Ei}(x)=-𝒫\underset{-x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (-t)}{t}dt$

여기서 $𝒫$는 코시 주요값이다.

임의의 복소수 $x$에 대하여 이 함수를 해석적 연속으로 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 음의 실수에서 분지절단이 생긴다.

성질

지수 적분 함수 $\mathrm{Ei}(z)$는 통상적으로 음의 실수에서 분지절단을 갖고, 다른 곳에서는 정칙함수이다. 또한, 다음 함수는 전해석 함수이다.

$\mathrm{Ei}(z)-\ln z$

급수

지수 적분 함수의 테일러 급수는 다음과 같다. 이는 0이 아닌 모든 실수에서 수렴한다.

$\mathrm{Ei}(x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{(k+1)!}x\in ℝ\setminus \{0\}$

이 식은 지수 적분 함수의 부정적분 정의 $\mathrm{Ei}(x)=\int \frac{e^x}{x}dx$에 $e^x=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$를 대입한 뒤 적분해서 얻을 수 있다.

같이 보기

• 로그 적분 함수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:웹 인용
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드