페리 수열

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 페리 수열(틀:Llang)은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 n 을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다.

• $F_n$: $0\le h\le k\le n$이고 $\gcd (h,k)=1$을 만족하는 $\frac{h}{k}$를 오름차순으로 나열한 수열

한편, 페리 수열을 페리 급수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니기 때문에 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다.

성질

수열의 길이

n번째 페리 수열 $F_n$의 정의에 따라 $F_n$의 길이와 $F_{n+1}$ 의 길이의 차이는, n+1보다 작으면서 동시에 n+1과 서로소인 자연수의 개수와 같다. 따라서 페리 수열의 길이에 관한 점화식은 오일러 피 함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• $|F_{n+1}|=|F_n|+\phi (n+1)$

즉, $|F_n|$은 계차가 $\phi (n)$인 계차수열이고 $|F_1|=2$이기 때문에, 시그마 기호를 사용하여 $|F_n|$의 일반항을 나타내면

• $|F_n|=1+\sum _{m=1}^n\phi (m)$

이웃한 항

페리 수열 $F_n$의 연속된 두 항을 각각 순서대로 $h_1/k_1,h_2/k_2$ 라고 하면,

$k_1{h}_2-k_2{h}_1=1$

따라서 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현할 수 있다.

$\frac{h_2}{k_2}-\frac{h_1}{k_1}=\frac{k_1{h}_2-k_2{h}_1}{k_1{k}_2}=\frac{1}{k_1{k}_2}$

연속된 세 항을 차례대로 $h_1/k_1,h_2/k_2,h_3/k_3$ 라고 할 경우,

$\frac{h_2}{k_2}=\frac{h_1+h_3}{k_1+k_3}$

이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다.

$h_1/k_1,h_2/k_2,h_3/k_3$가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때 $h_1/k_1,h_2/k_2$와 $h_2/k_2,h_3/k_3$는 각각이 페리 수열의 연속하는 두 항이므로

$k_1{h}_2-k_2{h}_1=1$ ... (1)

$k_2{h}_3-k_3{h}_2=1$ ... (2)

(1)$\times h_3$$+$(2)$\times h_1$와 (1)$\times k_3$$+$(2)$\times k_1$를 각각 계산하여 정리하면

$h_1+h_3=h_2(k_1{h}_3-h_1{k}_3)$

$k_1+k_3=k_2(k_1{h}_3-h_1{k}_3)$

따라서,

$\frac{h_1+h_3}{k_1+k_3}=\frac{h_2(k_1{h}_3-h_1{k}_3)}{k_2(k_1{h}_3-h_1{k}_3)}=\frac{h_2}{k_2}$

물론, 후자의 성질에서 전자의 성질을 유도하는 것 역시 가능하다.

한편, 페리 수열의 인접한 두 항 $h_1/k_1,h_2/k_2$의 중앙값

$\frac{h_1+h_2}{k_1+k_2}$

의 분모 $k_1+k_2$는 항상 $n$보다 크다.

$k_1+k_2>n$

또한 인접한 두 항의 중앙값은 $k_1+k_2$번 째 페리 수열 $F_{k_1+k_2}$에 처음 등장하며, 이 값은 항상 구간

$(\frac{h_1}{k_1},\frac{h_2}{k_2})$

사이에 존재하게 된다.

표

n=1…8까지의 페리 수열은 다음과 같다.

F₁ = {0/1, 1/1}

F₂ = {0/1, 1/2, 1/1}

F₃ = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}

F₄ = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}

F₅ = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}

F₆ = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1}

F₇ = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}

F₈ = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

역사

1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로(틀:Llang)가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세(틀:Llang)가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

같이 보기

• 하디-리틀우드 원 방법