아인슈타인-힐베르트 작용

틀:위키데이터 속성 추적 일반 상대성 이론에서 아인슈타인-힐베르트 작용(Einstein-Hilbert作用, 틀:Llang)은 아인슈타인 방정식을 오일러-라그랑주 방정식으로 가지는 작용이다. 스칼라 곡률의 시공간에 대한 적분이다. 알베르트 아인슈타인과 다비트 힐베르트가 발견하였다.

정의

아인슈타인-힐베르트 작용 $S$는 다음과 같다.

$S=\frac{1}{2\kappa }\int R\sqrt{-g}{d}^{4}x$.

여기서 $R$은 스칼라 곡률이고, $\kappa =8\pi G/c^4$이다. 여기서 $G$는 중력 상수다.

필요하면 우주 상수를 더하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$S=\frac{1}{2\kappa }\int (R-2\mathrm{\Lambda })\sqrt{-g}{d}^{4}x$.

장 방정식 유도

이론의 완전한 작용이 아인슈타인–힐베르트 항에 물질장을 묘사하는 다음 항이 더해진 것으로 주어졌다고 하자: ${ℒ}_{\mathrm{M}}.$

그러면 최소 작용 원리는 물리법칙을 유지하기 위해선 이 작용의 역 계량에 대한 변분이 영이 되어야 함을 시사한다.

$\begin{array}{cc}0& =\delta S\\ & =\int [\frac{1}{2\kappa }\frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{\delta (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\delta g^{\mu \nu }}]\delta g^{\mu \nu }{\mathrm{d}}^{4}x\\ & =\int [\frac{1}{2\kappa }(\frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}+\frac{R}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu }})+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\delta g^{\mu \nu }}]\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x\end{array}.$

이 방정식은 임의의 변분 $\delta g^{\mu \nu }$에 대해 성립해야 하므로, 이는

가 운동 방정식임을 보여준다. 오른쪽 항은 에너지 스트레스 텐서에 비례한다.,

$T_{\mu \nu }:=\frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}{ℒ}_{\mathrm{M}})}{\delta g^{\mu \nu }}=-2\frac{\delta {ℒ}_{\mathrm{M}}}{\delta g^{\mu \nu }}+g_{\mu \nu }{ℒ}_{\mathrm{M}}.$

왼쪽 항을 계산하기 위해 우리는 리치 스칼라 $R$의 변분과 계량의 행렬식이 필요하다. 이는 다음과 같은 교재에 잘 나와 있다.틀:Harvnb.

리만 텐서, 리치 텐서, 리치 스칼라의 변분

리치 스칼라의 변분을 계산하기 위해 먼저 리만 곡률 텐서와 리치 텐서의 변분을 계산한다. 리만 곡률 텐서는 다음과 같다:

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\rho }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\lambda }.$

리만 곡률 텐서는 오직 레비치비타 접속 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$에 대해서만 달라지므로, 리만 텐서의 변분은 다음과 같이 계산된다:

$\delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\rho }+\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\lambda }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\lambda }.$

이제, $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }$가 두 접속의 차이이므로, 이는 텐서이며 이의 공변미분은

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }\right)={\partial }_{\mu }(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho })+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \sigma }^{\rho }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\rho }.$

이제, 리만 곡률 텐서의 변분의 표현은 다음 두 항의 차이와 같음을 볼 수 있다:

$\delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\mu }\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }\right)-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\rho }\right).$

리치 텐서에 대해서는 간단히 두 리만 텐서의 변분의 인덱스를 빼고 팔라티니 항등식을 얻는다:

$\delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\rho }\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }\right)-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }\left(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\rho }\right).$

리치 스칼라는 다음과 같이 정의된다:

$R=g^{\sigma \nu }{R}_{\sigma \nu }.$

그러므로, 이의 역 계량에 대한 변분 $g^{\sigma \nu }$은

$\begin{array}{cc}\delta R& =R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\ & =R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+{\mathrm{\nabla }}_{\rho }(g^{\sigma \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\mu })\end{array}$

으로 주어진다.

두번째 줄에서 the metric compatibility of the covariant derivative, ${\mathrm{\nabla }}_{\sigma }{g}^{\mu \nu }=0$과, 리치 곡률에 대해 앞서 얻었던 결과를 썼다.

같이 보기

• 브랜스-딕 이론
• 아인슈타인-카르탕 이론
• 기번스-호킹-요크 항
• 칼루차–클레인 이론

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik (German original for free) (English translation for $25), Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407