스튜던트 t 분포

틀:위키데이터 속성 추적 틀:확률분포 정보 스튜던트 t 분포(Student t分布, 틀:Llang)는 정규 분포의 평균을 측정할 때 주로 사용되는 분포이다.

정의

스튜던트 t 분포는 다음 확률변수의 분포로 정의된다.

$\frac{Z}{\sqrt{V/\nu }}$

여기에서 $Z$는 표준정규분포, $V$는 자유도 $\nu$인 카이제곱 분포이다.

t 분포는 종모양으로서 t=0에서 좌우대칭을 이룬다. t 분포의 모양을 결정하는 것은 자유도이며, 자유도가 커질수록 표준정규분포에 가깝게 된다.틀:Rp

정규분포에서의 추정

어떤 정규분포의 평균이 $\mu$이고 분산이 ${\sigma }^2$일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 $X_1,\cdots ,X_n$라고 표기한다. 표본평균과 표본분산은 다음과 같다.

$\bar{X}=\frac{1}{n}(X_1+\cdots +X_n)$

$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-\bar{X})}^2$

이 값들은 실제 평균과 분산에 대한 불편추정값이다. 이때,

$V=(n-1)\frac{S^2}{{\sigma }^2}$

은 자유도가 $n-1$인 카이제곱 분포가 된다는 것이 Cochran 정리에 의해 알려져 있다. 또한

$Z=(\bar{X}-\mu )\frac{\sqrt{n}}{\sigma }$

는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 가지며, $V,Z$는 서로 독립이라는 것을 증명할 수 있다.

이때 $Z$에서 ${\sigma }^2$ 대신 $S^2$로 대체한 추축량(pivot quantity)은 다음과 같다.

$T\equiv \frac{Z}{\sqrt{V/\nu }}=(\bar{X}-\mu )\frac{\sqrt{n}}{S}$

이때 $T$에는 ${\sigma }^2$가 사용되지 않으므로, 이 분포는 분산을 모를 때의 평균값 $\mu$를 추정하는 데에 사용이 가능하다. 이때 $T$의 분포는 자유도 n-1인 t-분포가 된다.

구간 추정

자유도 n-1인 t 분포 $T$에 대해,

$\mathrm{Pr}(-A<T<A)=0.9$

을 만족하는 실수 $A$는 수치적으로 계산이 가능하다. 이때,

$\mathrm{Pr}(-A<T<A)=\mathrm{Pr}(-A<\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}<A)=\mathrm{Pr}({\bar{X}}_n-A\frac{S}{\sqrt{n}}<\mu <\bar{X}+A\frac{S}{\sqrt{n}})=0.9$

이므로, 정규분포의 평균은 90%의 신뢰도로 $\bar{X}\pm A\frac{S}{\sqrt{n}}$ 신뢰구간에 속하게 된다.

역사

프리드리히 로베르트 헬메르트(틀:Llang)가 1875년에 도입하였다. 이듬해 야코프 뤼로트(틀:Llang)도 같은 분포를 재발견하였다. 그러나 헬메르트와 뤼로트의 논문은 영문 학계에 널리 알려지지 않았다.

1908년에 윌리엄 고셋이 "스튜던트"(틀:Llang, ‘학생’)라는 필명으로 1908년 재발견하였다. 고셋은 기네스 양조 공장에서 일했고, 맥주에 사용되는 보리의 질을 시험하기 위해 이 분포를 도입하였고, 경쟁사들에게 기네스의 획기적인 통계 기법을 숨기기 위해 필명을 사용하였다고 한다.틀:Rp 이후 저명한 통계학자인 로널드 피셔는 이 분포를 "스튜던트 분포"라고 불렀고, t라는 기호를 사용하였다. 피셔 이후 이 분포는 고셋의 필명을 따 "스튜던트 t 분포"로 알려지게 되었다.

같이 보기

• 카이제곱 분포
• F 분포
• 정규분포
• t-test
• t 테이블