네즈빗의 부등식

틀:위키데이터 속성 추적 네스빗의 부등식(Nesbitt's inequality, -不等式)은 다음과 같은 수학적 부등식을 말한다.^[1] 이 부등식은 셔피로의 부등식에서 n=3의 특수한 형태이다.

양의 실수 a, b, c에 대하여, $\frac{3}{2} \leq \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} .$

증명

증명1} 네스빗의 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 이용하여 쉽게 증명할 수 있다.^[1] 이 부등식을 이용하여 먼저 다음을 얻는다.

(a + b + c)^{2} \leq (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) (a (b + c) + b (c + a) + c (a + b)) .

그런데, 다음 식이 성립하므로,

0 \leq a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = (a + b + c)^{2} - \frac{3}{2} (a (b + c) + b (c + a) + c (a + b)) .

맨 위의 식에서 양 변에 $(a (b + c) + b (c + a) + c (a + b))$ 을 나누면 원하는 결과를 얻는다.

증명2} 재배열 부등식으로도 증명이 가능하다.

$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a} + \frac{a}{a + b}$

$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{c}{b + c} + \frac{a}{c + a} + \frac{b}{a + b}$

위 두식을 더하게 되면,

$2 (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) \geq 1 + 1 + 1 = 3$ 이 되므로, 정리하면,

$\frac{3}{2} \leq \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}$ 가 성립하게 된다.