모함수 (물리학)

해밀턴 역학에서 모함수(母函數, 틀:Lang)는 두 개의 일반화 좌표간의 정준변환을 연결해주는 함수이다.

도입

기존의 일반화 좌표 $\{p_i,q_i,t\}$로부터 정준변환에 의한 새로운 좌표 $\{P_i,Q_i,t\}$가 해밀턴 방정식의 형태를 유지하려면 다음과 같은 형태의 해밀턴의 원리를 만족하면 된다.

$\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}[\sum _i{P}_i{\dot{Q}}_i-\hat{H}(P_i,Q_i,t)+\frac{dF}{dt}]dt=0$

여기서 $\hat{H}$는 새로운 좌표로 기술된 해밀토니언이고 $F$는 임의의 함수이다. 여기서 $F$에 관계된 항은, 적분하면 경로의 양 끝에만 관계된 값이 되고, 이는 변분하면 없어지게 된다. 따라서, 최종적으로 얻는 해밀턴 방정식은 $F$에 관계없는 식이 된다. 따라서 $F$를 자유롭게 선택할 수 있는데, 이 함수를 모함수라 한다.

그런데 좌표변환 관계식

$Q_i=Q_i(p_i,q_i,t)$

$P_i=P_i(p_i,q_i,t)$

에 의해 위의 식이 제약이 되기 때문에 $F$를 완전 자유롭게 선택할 수는 없게 된다. 위 제약에서 자유롭게 되기 위해서는 서로 독립적인 변수를 사용하여야 한다. 두 종류의 식에 의해 제약이 되므로 모함수가 선택할 수 있는 좌표는 $\{q_i,Q_i,t\}$ , $\{q_i,P_i,t\}$ , $\{p_i,Q_i,t\}$ 또는 $\{p_i,P_i,t\}$ 중 하나이다.

목록

기본적으로 다음과 같은 네 종류의 모함수가 있다.

종	모함수의 꼴	모함수의 미분
1종	$F=F_1(q_i,Q_i,t)$	$p_i=\frac{\partial F_1}{\partial q_i}$ , $P_i=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}$
2종	$F=F_2(q_i,P_i,t)-QP$	$p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q_i}$ , $Q_i=\frac{\partial F_2}{\partial P_i}$
3종	$F=F_3(p_i,Q_i,t)+qp$	$q_i=-\frac{\partial F_3}{\partial p_i}$ , $P_i=-\frac{\partial F_3}{\partial Q_i}$
4종	$F=F_4(p_i,P_i,t)+qp-QP$	$q_i=-\frac{\partial F_4}{\partial p_i}$ , $Q_i=\frac{\partial F_4}{\partial P_i}$

같이 보기

• 해밀턴-야코비 방정식
• 푸아송 괄호