코시-리만 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 코시-리만 방정식(-方程式, 틀:Llang)은 열린 집합에서 정의된 복소함수가 정칙함수일 필요충분조건인 연립 편미분 방정식이다.

정의

평면에서 정의된 두 실함수 $u$, $v$ 에 대한 코시-리만 방정식은 다음과 같다.

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

정칙성과의 관계

복소 평면 위의 열린 집합 $U\subset ℂ$ 위의 함수 $u,v:U\to ℝ$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• $\partial u/\partial x$, $\partial u/\partial y$, $\partial v/\partial x$, $\partial v/\partial y$가 모두 존재한다.
• $u+iv:U\to ℂ$는 연속 함수이다.

루만-멘코프 정리(Looman-Menchoff theorem)에 따르면 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $u$와 $v$는 $U$ 위에서 코시-리만 방정식을 만족시킨다.
• $u+iv:U\to ℂ$는 $U$ 위에서 정칙함수이다.

반면, 예를 들어 함수

$z\mapsto \{\begin{array}{cc}\exp (-z^{-4})& z\ne 0\\ 0& z=0\end{array}$

는 복소 평면 전체에서 코시-리만 방정식을 만족시키지만, $z=0$에서 연속 함수가 아니므로 $z=0$에서 정칙 함수가 아니다.

역사와 어원

오귀스탱 루이 코시와 베른하르트 리만의 이름을 땄다. 역사적으로, 장 르 롱 달랑베르가 1752년 유체역학을 연구하면서 처음 발견하였다. 이후 레온하르트 오일러가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다. 코시는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용하였고,틀:Rp 리만은 박사 학위 논문에서 코시-리만 방정식을 다뤘다.

같이 보기

• 모레라 정리

각주

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드