치른하우스 변형

틀:위키데이터 속성 추적 치른하우스 변형(틀:Llang)은 독일의 수학자 에렌프리트 발터 폰 치른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)에 의해 제안되고 증명된 방법이다. 2차 이상 다항식에서 포물선 또는 보다 복잡한 곡선을 결과적으로 가정했을 때 그 축과의 관계를 정리한 것이다.

2차식 이상에서의 다항 방정식 변형을 위한 과정에 응용된다.

2차방정식에서의 과정

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0,x=y-\frac{b}{\mathrm{𝟐}a}$

${(y-\frac{b}{\mathrm{𝟐}a})}^2+\frac{b}{a}(y-\frac{b}{\mathrm{𝟐}a})+\frac{c}{a}=0$

우선, ${(y-\frac{b}{\mathrm{𝟐}a})}^2=(y-\frac{b}{\mathrm{𝟐}a})(y-\frac{b}{\mathrm{𝟐}a})=(y^2-\frac{b}{2a}y-\frac{b}{2a}y+{\left(\frac{b}{\mathrm{𝟐}a}\right)}^2)$

$=(y^2-2\frac{b}{2a}y+{\left(\frac{b}{\mathrm{𝟐}a}\right)}^2)=(y^2-\frac{b}{a}y+{\left(\frac{b}{\mathrm{𝟐}a}\right)}^2)$

따라서,

$(y^2-\frac{b}{a}y+{\left(\frac{b}{\mathrm{𝟐}a}\right)}^2)+\frac{b}{a}(y-\frac{b}{\mathrm{𝟐}a})+\frac{c}{a}=0$

$(y^2-\frac{b}{a}y+{\left(\frac{b}{\mathrm{𝟐}a}\right)}^2)+(\frac{b}{a}y-\frac{b}{a}\frac{b}{\mathrm{𝟐}a})+\frac{c}{a}=0$

$(y^2-\frac{b}{a}y+{\left(\frac{b}{\mathrm{𝟐}a}\right)}^2)+(\frac{b}{a}y-\frac{b^2}{\mathrm{𝟐}{a}^2})+\frac{c}{a}=0$

$y^2\cancel{-\frac{b}{a}y}+{\left(\frac{b}{\mathrm{𝟐}a}\right)}^2\cancel{+\frac{b}{a}y}-\frac{b^2}{\mathrm{𝟐}{a}^2}+\frac{c}{a}=0$

$y^2+(\frac{1}{4}{\left(\frac{b}{a}\right)}^2-\frac{1}{2}{\left(\frac{b}{a}\right)}^2)+\frac{c}{a}=0$

$y^2-\frac{1}{4}{\left(\frac{b}{a}\right)}^2+\frac{c}{a}=0$

$y^2-\left(\frac{b^2}{4a^2}\right)+\frac{c}{a}=0$

$y^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$

$y^2=\frac{a{b}^2-4a^{2}c}{4a^3}$

$y^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$y^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$

$y^2+p=0$의 형태로 정리된다.

이러한 압축정리($zipping$)를 위한 값 $-\frac{b}{𝐧a}$는 $n$차함수의 곡선 꼭지점 및 축의 정보이다.

여기서 $p$는 $-\frac{b^2-4ac}{4a^2}$이다.

결과적으로 이러한 절차로 정리하는 것은 차고차항이 압축되어 없어지게 함으로써 방정식을 보다 단순화시킬 수 있게 된다. 1786년에 브링(E.S. Bring)은 일반적인 5차 방정식이 이러한 형태로 축소 될 수 있음을 보여주었다.

응용

다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차 항( $n$차항)의 $x$의 계수 $a$로 나눈 다음 $x=y-\frac{b}{𝐧a}$의 형태로 치환해서 차고차 항(최고차 항의 바로 아랫차항)의 정보를 변형된 다른 항들로 분산시키고 사라지게 할 수 있다.

예를 들어, 3차 방정식

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$은

$x=y-\frac{b}{3a}$에서 다음의 꼴로 정리되고,

$x^3+\frac{b}{a}{x}^2+\frac{c}{a}x+d=0$

$y^3+py+q=0$의 형태로 정보가 압축된다.

그리고

$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$

$q=\frac{2b^3-9abc+27a^{2}d}{27a^3}$

같이 보기

• 3차방정식
• 포물선

참고 문헌

• C. B. Boyer,수학의 역사. New York : Wiley, pp. 472-473, 1968