Z변환 문서 원본 보기

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'''Z 변환'''(Z-transform)은 [[수학]]이나 [[신호 처리]]에서 [[수열|실 수열]] 또는 [[복소 수열]]로 나타나는 시간 영역의 신호를 복소 [[주파수 영역]]의 표현으로 변환한다.

Z 변환은 연속 시간 신호에 대한 [[라플라스 변환]]에 대응하는 이산 시간 영역에서의 변환으로 볼 수 있다.

== 역사 ==
Z 변환에 대한 기본적인 생각은 [[라플라스]]도 알고 있었고, 1947년에 [[위키백과:Witold_Hurewicz|W. Hurewicz]]에 의해 선형 상수 계수 [[점화식|차분 방정식]]을 푸는 유용한 수단으로 다시 알려졌다.<ref>{{서적 인용| title = Time Sequence Analysis in Geophysics | edition = 3rd | author = Kanasewich, E. R. | publisher = University of Alberta | year = 1981 | isbn = 978-0-88864-074-1 | pages = 185–186 | url = http://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&pg=PA185}}</ref> Z 변환이라는 이름은 1952년에 [[콜롬비아 대학]]의 sampled-data control group에 속한 [[위키백과:John_R._Ragazzini|Ragazzini]]와 [[위키백과:Lotfi_A._Zadeh|Zadeh]]로부터 유래되었다.<ref>{{저널 인용| journal = Trans. Am. Inst. Elec. Eng. | title = The analysis of sampled-data systems | author = Ragazzini, J. R.; Zadeh, L. A. | volume = 71 | issue = II | publisher = | pages = 225–234 | year = 1952 }}</ref><ref>{{서적 인용| title = Digital Control Systems Implementation and Computational Techniques | edition = | author = Leondes, C. T. | publisher = Academic Press | year = 1996| isbn = 978-0-12-012779-5 | page = 123 | url = http://books.google.com/books?id=aQbk3uidEJoC&pg=PA123 }}</ref>

[[위키백과:Advanced_Z-transform|고등 Z 변환]]은 후에 [[위키백과:Eliahu_I._Jury|Jury]]에 의해 개발되고 대중화되었다.

== 정의 ==
다른 [[적분 변환]]들과 마찬가지로 Z 변환은 단방향 또는 양방향 변환으로 정의될 수 있다.

=== 양방향 Z 변환 ===
연속시간 신호 <math>x[n]</math>의 양방향 Z 변환은 <math>X(z)</math>로 표현되는 [[위키백과:formal power series|formal power series]]로, 다음과 같이 정의된다.

:<math>X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}. </math>

여기서 <math>n</math>은 정수이고 <math>z</math>는 일반적으로 [[복소수]]이다. 즉, <math>z</math>는 [[절댓값|복소수의 크기]] <math>A</math>와 [[허수 단위]] <math>j</math>, 그리고 [[위키백과:Complex_argument|편각]] <math>\phi</math>를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:<math>z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})\,</math>

=== 단방향 Z 변환 ===
만약 <math>x[n]</math>이 <math>n \ge 0</math>에 대해서만 정의되어 있다면 단방향 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.

:<math>X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}.</math>

이러한 정의는 [[신호 처리]]에서 [[위키백과:Discrete_time|이산 시간]] [[위키백과:Causal_system|causal system]]의 [[위키백과:Finite impulse response|단위 펄스 응답]]의 Z 변환을 구하는데 사용될 수 있다. 여기서부터는 별도의 언급이 없는 한 단방향 Z 변환을 고려하기로 한다.

==== 예제 ====
* [[단위 계단 함수|단위 계단 신호]]
다음과 같은 신호를 생각해 보자.

:<math>x[n] = 1,\quad n = 0,1,2,\ldots.</math>

그러면 <math>x[n]</math>의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

:<math>X(z) = 1 + z^{-1} + z^{-2} + \cdots = \frac{z}{z - 1},\quad 1<|z|.</math>

* [[등비수열]]
다음과 같은 신호를 생각해 보자.

:<math>x[n] = a^{n},\quad n = 0,1,2,\ldots.</math>

그러면 <math>x[n]</math>의 Z 변환은 다음과 같이 구해진다.

:<math>X(z) = 1 + (z/a)^{-1} + (z/a)^{-2} + \cdots = \frac{z}{z - a},\quad a<|z|.</math>

== 성질 ==
=== 선형성 (Linearity) ===
두 이산 시간 신호 <math>x_{1}[n]</math>, <math>x_{2}[n]</math>의 Z 변환을 각각 <math>X_{1}(z)</math>, <math>X_{2}(z)</math>라 두면, 상수 <math>a_{1}</math>, <math>a_{2}</math>에 대해 <math>x[n] = a_{1}x_{1}[n] + a_{2}x_{2}[n]</math>의 Z 변환은 다음과 같다

:<math>
\begin{align}
X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1[n]+a_2x_2[n])z^{-n} \\
 &= a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]z^{-n} + a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_2[n]z^{-n} \\
 &= a_1X_1(z) + a_2X_2(z).
\end{align}
</math>

=== 시간에 대한 평행 이동 (Time shifting) ===
==== 양방향 Z 변환의 경우 ====
이산 시간 신호 <math>x[n]</math>의 Z 변환을 <math>Z\{x[n]\}</math>라 두면 정수 <math>k</math>에 대해 <math>x[n-k]</math>의 Z 변환은 다음과 같다.

:<math>
\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= z^{-k}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]z^{-m}\\
&= z^{-k}X(z).
\end{align}
</math>

==== 단방향 Z 변환의 경우 ====
단방향 Z 변환의 경우 조금 다르다. 만약 <math>k \ge 1</math>인 경우

:<math>
\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= \sum_{m=-k}^{-1} x[m]z^{-m}z^{-k} + z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty} x[m]z^{-m} \\
&= \sum_{m=-k}^{-1} x[m]z^{-(m+k)} + z^{-k}X(z),
\end{align}
</math>

<math>k \le -1</math>인 경우

:<math>
\begin{align}
\mathcal{Z}\{x[n-k]\} &= \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}\\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-(m+k)},\quad m = n-k \\
&= \sum_{m=-k}^{\infty} x[m]z^{-m}z^{-k} \\
&= -\sum_{m=0}^{-k-1} x[m]z^{-m}z^{-k} + z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty} x[m]z^{-m} \\
&= -\sum_{m=0}^{-k-1} x[m]z^{-(m+k)} + z^{-k}X(z).
\end{align}
</math>

== Z 역변환 ==
Z 역변환은 다음과 같이 구해진다.

:<math> x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz,</math>

여기서 <math>C</math>는 원점을 반시계방향으로 둘러 싸면서 [[위키백과:Radius_of_convergence|수렴 반경]] 안에 있는 닫힌 경로이다.

하지만 [[라플라스 변환|라플라스 역변환]]의 경우와 유사하게 대부분의 경우 Z 역변환은 [[부분분수]] 분해를 통해 구해진다. 예를 들어 다음과 같은 Z 변환을 생각하자.

:<math>
X(z) = \frac{3z^{2} - 7z}{z^{2} - 5z + 6}.
</math>

[[부분분수]] 분해를 통해 <math>X(z)/z</math>는 다음과 같이 표현된다.

:<math>
\frac{X(z)}{z} = \frac{1}{z-2} + \frac{2}{z-3}.
</math>

따라서, <math>X(z) = z/(z-2) + 2z/(z-3)</math>이고 Z 변환의 선형성으로부터 <math>x[n]</math>은 다음과 같이 구해진다.

:<math>
x[n] = 2^{n} + 2 \cdot 3^{n},\quad n = 0,1,\ldots.
</math>

== 수렴 반경 ==
{{빈 문단}}

== 응용 ==
=== 차분방정식의 풀이 ===
다음과 같이 주어진 상수 계수를 갖는 선형 [[점화식|차분방정식]]을 생각하자.

:<math>
x[n-2] - 5x[n-1] + 6x[n] = 0,\quad x[-1] = 1,\; x[-2] = 0.
</math>

양변에 Z 변환을 취하면 다음을 얻는다.

:<math>
\begin{align}
&z^{-2}X(z) + x[-2] + z^{-1}x[-1] - 5z^{-1}X(z) - 5x[-1] + 6X(z) = 0,\\
&\frac{X(z)}{z} = \frac{5z-1}{(3z-1)(2z-1)},\\
&X(z) = -\frac{2}{3}\frac{z}{z - \frac{1}{3}} + \frac{3}{2}\frac{z}{z - \frac{1}{2}}.
\end{align}
</math>

따라서, <math>x[n] = -\frac{2}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^{n} + \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}</math>이다.

== Z 변환 표 ==
{{빈 문단}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[라플라스 변환]]
* [[푸리에 변환]]
* [[:en:Discrete-time Fourier transform|이산 시간 푸리에 변환]]
* [[이산 푸리에 변환]]

# Kamen, E.; Heck, B. (2000), ''Fundamentals of Signals and Systems: With MATLAB Examples'' (2nd ed.); Prentice Hall; {{ISBN|0130172936}}, 9780130172938.
# Ingle, V. K.; Proakis, J. G. (2007), ''Digital Signal Processing Using Matlab'' (2nd ed., Int. Stud. Ed.); Thomson.
# Nekoogar, F. and Moriarty, G. (1999), ''Digital control using digital signal processing''; Prentice Hall.

{{전거 통제}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:신호 처리]]
[[분류:변환 (수학)]]