WKB 근사 문서 원본 보기

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[[양자역학]]에서 '''WKB 근사'''(WKB近似, {{llang|en|WKB approximation}})는 [[슈뢰딩거 방정식]]을 풀 때, 순수하게 양자역학적인 효과가 작아 [[파동 함수]]의 진폭 또는 위상이 거의 일정하다는 가정 아래 푸는 근사법이다.

== 1차원 퍼텐셜 속의 입자 ==
1차원 공간에서 에너지 <math>E</math>를 가지고 퍼텐셜 <math>V(x)</math>에 영향을 받는 입자의 [[파동 함수]] <math>\Psi(x)</math>는 다음과 같은 시간 무관 [[슈뢰딩거 방정식]]을 따른다.
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)</math>.
이제 파동 함수 <math>\Psi</math>를 다음과 같이 그 로그의 실수 및 허수 성분의 도함수로 나타내자.
:<math>\Psi(x)=\exp\left(\int (A(x)+iB(x))\,dx\right)</math>.
이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 두 방정식을 얻는다.
:<math>A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)</math>
:<math>B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0</math>.

이 연립 [[미분 방정식]]을 풀기 위해, 다음과 같은 반고전 근사법({{lang|en|semiclassical approximation}})을 취한다. 우선, 파동 함수 성분<math>A</math>와 <math>B</math>를 [[디랙 상수]] <math>\hbar</math>에 대한 [[테일러 급수]]로 전개한다. (위 식에 따라 <math>A,B=O(1/\hbar)</math>이므로 그 첫 항은 <math>\hbar^0</math>이 아니라 <math>\hbar^{-1}</math>이 된다.)
:<math>A(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} A_n(x)</math>
:<math>B(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} B_n(x)</math>.
디랙 상수는 아주 작으므로, 급수의 가장 낮은 차수의 항부터 먼저 보자.
:<math>A_0(x)^2-B_0(x)^2=2m\left( V(x) - E \right)</math>
:<math>A_0(x)B_0(x)=0</math>.
두 번째 방정식에 따라 <math>A_0=0</math> 또는 <math>B_0=0</math>이다. 첫 번째 방정식에 따라 <math>V(x)<E</math>이면 <math>A_0=0</math>, <math>B_0\ne0</math>으로, <math>V(x)>E</math>이면 <math>A_0\ne0</math>, <math>B_0=0</math>으로 놓는다. 전자는 고전적인 경우, 후자는 [[터널링]]이 일어나는 경우를 나타낸다.

그 다음 차수의 항은 다음과 같다.
:<math>A_0'(x)+2A_0(x)A_1(x)-2B_0(x)B_1(x)=0</math>
:<math>B_0'(x)+2A_0(x)B_1(x)+2A_1(x)B_0(x)=0</math>.
첫 번째 식에 의해, <math>A_0=0</math>이면 <math>B_1=0</math>이다. 두 번째 식에 의해, <math>B_0=0</math>이어도 <math>B_1=0</math>이다.

=== 고전적인 경우 ===
이 경우는 총 에너지 <math>E</math>가 위치 에너지 <math>V(x)</math>보다 더 크므로, 입자가 고전적으로 존재할 수 있는 영역이다. 여기서는 <math>A_0=0</math>이고,
:<math>B_0(x)=\pm\sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }</math>
이다. 이는 파동 함수의 진폭(<math>A</math>)은 별로 변하지 않지만 그 위상(<math>B</math>)이 많이 변하는 꼴이다.

다음 차수의 항 <math>A_1</math>을 구하면 다음과 같다.
:<math>A_1=-B_0'/2B_0=-\frac12(\ln B_0)'</math>.
따라서 파동 함수 <math>\Psi(x)</math>는 대략
:<math>\Psi(x)\approx CB_0^{-1/2}\exp\left(i\int B_0\,dx\right)=\frac{C_+\exp\left(i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right)+
C_-\exp\left(-i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right)
}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}</math>
으로 근사할 수 있다. 여기서 <math>C_+</math>와 <math>C_-</math>는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 고전적인 영역에서는 파동 함수는 대략 사인파의 모양이다.

=== 터널 효과 ===
이 경우는 위치 에너지 <math>V</math>가 총 에너지 <math>E</math>보다 더 크므로 입자가 고전적으로 존재할 수 없는 영역이다. 즉, [[터널 효과]]에 해당한다. 여기에는 <math>B_0(x) = 0</math>이고,
:<math>A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }</math>
이다. 다음 차수의 항 <math>A_1</math>을 구하면 다음과 같다.
:<math>A_1=-A_0'/2A_0=-\frac12(\ln A_0)'</math>.
따라서 파동 함수 <math>\Psi(x)</math>는 대략
:<math>\Psi(x)\approx DA_0^{-1/2}\exp\left(\int A_0\,dx\right)=\frac{ D_{+}\exp\left(\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right) + D_{-} \exp\left(-\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right)}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}</math>
으로 근사할 수 있다. 여기서 <math>D_+</math>와 <math>D_-</math>는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 터널링 영역에서는 파동 함수는 [[지수 함수]]의 모양을 따른다.

=== 연결 공식 ===
고전적인 경우와 [[터널 효과]]인 경우의 해는 <math>V\approx E</math>가 되는 점 근처에서 발산한다. 따라서 이런 점 근처에는 '''연결 공식'''({{lang|en|connection formula}})를 사용하여 두 해의 계수 <math>C_\pm</math>, <math>D_\pm</math>를 (전체 파동 함수가 [[연속 미분 가능]]하게끔) 서로 맞추어야 한다.

고전적인 영역과 터널링 영역이 <math>x_0</math>에서 만난다고 하자. 즉,
:<math>V(x_0)=E</math>
이라고 하자. 그렇다면 <math>x_0</math> 근처에서 퍼텐셜 <math>V(x)</math>를
:<math>V(x)\approx V'(x_0)(x-x_0)+E</math>
와 같이 근사할 수 있다. 그렇다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
:<math>\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''=V'(x_0)\Psi(x)(x-x_0)</math>.
이는 [[에어리 함수]]를 사용하여 풀 수 있다. 그 일반적인 해는 다음과 같다.
:<math>\Psi(x)=aAi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x)+bBi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x)</math>.
여기서 <math>a</math>와 <math>b</math>는 임의의 상수이다.

<math>x\gg1</math>일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.
:<math>Ai(x)\approx\frac{\exp(-\frac23x^{3/2})}{2\sqrt{\pi}x^{1/4}}</math> (분모에 2가 있는 것에 주의!)
:<math>Bi(x)\approx\frac{\exp(\frac23x^{3/2})}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}</math>
:<math>Ai(-x)\approx\frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}</math>
:<math>Bi(-x)\approx\frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}</math>.
이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다. 이를 '''연결 공식'''이라고 한다. 예를 들어, <math>x<x_0</math>은 고전적인 영역이고, <math>x>x_0</math>은 터널링 영역이라고 하자. 그렇다면
:<math>D_+-2iD_-=2C_+\exp(-i\pi/4)</math>
:<math>D_++2iD_-=2C_-\exp(i\pi/4)</math>
이다. 그 반대로, <math>x>x_0</math>이 고전적이고 <math>x<x_0</math>이 터널링인 경우에도 유사한 공식을 유도할 수 있다.

== 일반적 경우 ==
<math>n</math>차원 [[리만 다양체]] <math>M</math> 위의 입자가 퍼텐셜 <math>V\colon M\to\mathbb R</math> 속에서 움직인다고 하자. 이 경우, [[파동 함수]]에 대하여 다음과 같은 [[가설 풀이]]를 고르자.
:<math>\psi(x)=\exp(iS(x)/\hbar)\sum_{k=0}^\infty a_k(x)\hbar^k</math>
여기서, 각 항의 단위는 다음과 같다.
* <math>S(x)</math>는 작용의 단위를 갖는다.
* <math>a_k(x)</math>는 [길이]<sup>−''n''/2</sup>[작용]<sup>−k</sup>의 단위를 갖는다.
이를 [[슈뢰딩거 방정식]]
:<math>0=\left(-\hbar^2\nabla^2+2m(V(x)-E)\right)\psi</math>
에 대입하여 <math>\hbar</math>의 각 계수별로 비교하면, 다음과 같은 일련의 [[편미분 방정식]]을 얻는다.<ref name="BW">{{서적 인용|제목=Lectures on the geometry of quantization|출판사=American Mathematical Society|총서=Berkeley Mathematical Lecture Notes|권=8|isbn=978-0-8218-0798-9|날짜=1997|이름=Sean|성=Bates|이름2=Alan|성2=Weinstein|url=https://math.berkeley.edu/~alanw/GofQ.pdf|언어=en}}</ref>{{rp|§2.2}}
:<math>\nabla^\mu S(x)\nabla_\mu S(x)=2m\left(E-V(x)\right)</math>
:<math>\left(\left(\nabla^2S(x)\right)+2(\partial^\mu S)\partial_\mu\right)a_0(x)=0</math>
:<math>\left(\left(\nabla^2S(x)\right)+2(\partial^\mu S)\partial_\mu\right)a_k(x)=i\nabla^2a_{k-1}(x)</math>
고전적 영역에서는 <math>S</math>는 실수이며, 터널 영역에서는 <math>S</math>는 허수가 된다.

처음 두 개의 [[편미분 방정식]]은 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다. 우선, [[심플렉틱 다양체]] <math>T^*M</math>의 다음과 같은 [[라그랑주 부분 다양체]]를 정의하자.
:<math>L=\{(x,p)\colon x\in M,\;p=\partial_\mu S(x)\in T_x^*M\}\subset T^*M</math>
이 경우, 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재하며, 이는 [[미분 동형]]을 이룬다.
:<math>\pi\colon L\to M</math>
:<math>\pi\colon (x,p)\mapsto x</math>
그렇다면, 처음 두 개의 WKB 방정식은 다음과 같이 해석할 수 있다.<ref name="BW"/>{{rp|§2.2}}
* <math>S</math>에 대한 방정식은 [[해밀턴-야코비 방정식]]이며, 이는 [[해밀토니언]]을 <math>L</math>에 국한하였을 경우 [[상수 함수]]임을 뜻한다.
*: <math>H|_L=E</math>
* <math>a_0</math>에 대한 방정식 <math>\nabla^\mu(a^2\partial_\mu S)=0</math>은 수송 방정식({{llang|en|transport equation}})이며, 이는 <math>L</math> 위에 정의된 [[밀도 다발|밀도]] <math>\pi^*\left(a_0^2(x)\sqrt{\det g(x)} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\right)</math>가 해밀토니언 벡터장 <math>(X_H)^I=(\omega^{-1})^{IJ}\partial_JH</math>에 대하여 불변인 것을 뜻한다. ([[해밀턴-야코비 방정식]]에 의하여, 해밀토니언 벡터장은 항상 <math>L</math>의 접벡터이다.) 여기서 <math>\mathcal L</math>은 [[밀도 다발|밀도]]의 [[리 미분]]이며, <math>\pi^*</math>는 <math>\pi</math>에 대한 [[당김 (미분기하학)|당김]]이다.
*: <math>\mathcal L_{X_H}\pi^*\left(a_0^2(x)\sqrt{\det g(x)}dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\right)=0</math>
따라서, 처음 두 WKB 방정식은 [[기하학적 양자화]]에서, [[라그랑주 부분 다양체]] 및 그 위에 주어진 [[밀도 다발|½-밀도]]로서 주어진 고전적 상태가 만족시켜야 하는 조건을 나타낸다. 그러나 나머지 WKB 방정식들은 이와 같이 간단한 기하학적 해석을 부여하기 힘들다.

== 역사 ==
1923년에 영국의 수학자 해럴드 제프리스({{llang|en|Harold Jeffreys}})가 이 근사법을 이차 [[미분 방정식]]에 대한 일반적인 근사법으로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Jeffreys|이름=Harold|날짜=1925|제목=On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|권=s2-23|호=1|쪽=428–436|doi=10.1112/plms/s2-23.1.428|언어=en}}</ref> 1925년 [[슈뢰딩거 방정식]]이 발표되자, 그 이듬해인 1926년에 독일의 [[그레고어 벤첼]]({{llang|de|Gregor Wentzel}})<ref>{{저널 인용|성=Wentzel|이름=Gregor|제목=Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik|저널=Zeitschrift für Physik A|권=38|호=6–7|연도=1926|쪽=518–529|doi=10.1007/BF01397171|언어=de}}</ref>, 네덜란드의 [[헨드릭 안토니 크라머르스]]<ref>{{저널 인용|성=Kramers|이름=Hendrik Anthony|저자링크=헨드릭 안토니 크라머르스|제목=Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung|저널=Zeitschrift für Physik A|권=39|호=10–11|연도=1926|쪽=828–840|doi=10.1007/BF01451751|언어=de}}</ref>, 프랑스의 [[레옹 브릴루앵]]<ref>{{저널 인용|성=Brillouin|이름=Léon|저자링크=레옹 브릴루앵|제목=La mécanique ondulatoire de Schrödinger; une méthode générale de résolution par approximations successives|저널=Comptes Rendus de l’Academie des Sciences|날짜=1926-07-05|권=183|쪽=24–26|url=https://archive.org/stream/ComptesRendusAcademieDesSciences0183/ComptesRendusAcadmieDesSciences-Tome183-Juillet-dcembre1926#page/n23/|언어=fr}}</ref> 이 독자적으로 이에 대한 근사법을 발표하였다. 넷 다 사실상 같은 방법이었으나 이들은 서로의 업적을 처음에 알지 못했다. 이에 따라 보통 WKB 또는 JWKB 근사법으로 불린다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=Douglas Owen|성=Gough|제목=An elementary introduction to the JWKB approximation|저널=Astronomische Nachrichten|권=328|호=3–4|쪽=273–285|연도=2004|월=3|doi=10.1002/asna.200610730|arxiv=astro-ph/0702201|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=WKB method}}
* {{eom|title=Semi-classical approximation}}
* {{nlab|id= WKB method }}
* {{nlab|id=semiclassical approximation|title=Semiclassical approximation}}

== 같이 보기 ==
* [[투과계수]]
* [[기하학적 양자화]]

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:수리물리학]]