W-대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]과 [[등각 장론]]에서 '''W-대수'''(W-代數, {{llang|en|W-algebra}})는 [[2차원 등각 장론]]의 무질량 고차 스핀 정칙장에 의해 생성되는 대칭이다.<ref name="BP">{{서적 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory|이름=Ralph|성=Blumenhagen|공저자=Erik Plauschinn|isbn=978-3-642-00449-0|doi=10.1007/978-3-642-00450-6|연도=2009|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]], [[하이델베르크|Heidelberg]]|bibcode=2009LNP...779.....B|언어=en|mr=2848105 }}</ref>{{rp|106–111}}<ref name="Pope">{{저널 인용|제목=Lectures on W algebras and W gravity|이름=C.N.|성=Pope|날짜=1991|bibcode=1991hep.th...12076P|arxiv=hep-th/9112076|언어=en}}</ref><ref name="BS">{{저널 인용  | last=Bouwknegt | 이름=Peter | 공저자= Kareljan Schoutens | title=W symmetry in conformal field theory  | doi=10.1016/0370-1573(93)90111-P | mr=1208246 | year=1993 | journal=Physics Reports | issn=0370-1573 | volume=223 | issue=4 | pages=183–276 | arxiv=hep-th/9210010 | bibcode=1993PhR...223..183B|언어=en}}</ref> [[비라소로 대수]]를 일반화한다.

== 정의 ==
=== 스핀 2 ===
스핀 2의 W-대수 <math>W_2</math>는 '''[[비라소로 대수]]'''라고 한다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 <math>T(z)</math>에 의해 생성되며, 비라소로 대수를 정의하는 [[연산자 곱 전개]]는 다음과 같다.
:<math>T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+\frac12cz^{-4}</math>
여기서 <math>c</math>는 비라소로 대수의 중심 원소이다. 이를 수로 간주하면, 이는 등각 장론의 중심 전하가 된다.

=== 스핀 3 ===
스핀 3의 W-대수 <math>W_3</math>는 [[알렉산드르 자몰롯치코프]]가 1985년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Zamolodchikov | first=A. B. | 저자링크=알렉산드르 자몰롯치코프| title=Бесконечные дополнительные симметрии в двумерной конформной квантовой теории поля | url=http://www.mathnet.ru/links/f570dc110620db4445276f19904da779/tmf5141.pdf | mr=829902 | 날짜=1985 | journal=Теоретическая и математическая физика | issn=0564-6162 | volume=65 | issue=3 | pages=347–359 | doi = 10.1007/BF01036128|언어=ru}}</ref> 이는 스핀 2의 정칙 1차장 <math>T(z)</math>([[에너지-운동량 텐서]])과 스핀 3의 정칙 1차장 <math>W(z)</math>를 가지며, 이들 사이의 [[연산자 곱 전개]]는 다음과 같다.
:<math>T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+\frac12cz^{-4}</math>
:<math>T(z+w)W(w)=z^{-1}\partial W(w)+3z^{-2}W(w)</math>
:<math>W(z)W(w)=\frac{16}{22+5c}\left(z^{-1}\partial\Lambda+2z^{-2}\Lambda\right)+\frac1{15}\left(z^{-1}\partial^3T(w)+\frac92z^{-2}\partial^2T(w)+15z^{-3}\partial T(w)+30z^{-4}T(w)\right)+\frac13cz^{-6}</math>
여기서 <math>\Lambda</math>는 다음과 같이 정의되는 스핀-4 연산자이다.
:<math>\Lambda(z)=:TT:(z)-\frac3{10}\partial^2T(z)</math>
여기서 <math>:\cdots:</math>는 [[표준 순서]]를 나타낸다.

<math>W_3</math>에 대해서도 일련의 유니터리 [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]을 정의할 수 있으며, 이들의 중심 전하는 다음과 같다.<ref name="BP"/>{{rp|109}}
:<math>c=2\left(1-\frac{12}{(k+3)(k+4)}\right)</math>
:<math>k=1,2,3,\dots</math>
특히, <math>k=1</math>인 경우(<math>c=4/5</math>)는 임계 3상태 [[포츠 모형]]으로, 이는 <math>m=5</math>인 비라소로 [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]과 같다.

=== 일반적인 스핀 ===
일반적으로, 모든 <math>N\ge 2</math>에 대하여, 스핀-''N'' W-대수 <math>W_N</math>이 존재한다. 이 경우 구체적인 연산자 곱 전개는 매우 복잡하다.

W-대수 <math>W_N</math>은 총 <math>N-1</math>개의 정칙 연산자들 <math>T,W^{(3)},W^{(4)},\dots,W^{(N)}</math>을 포함한다. 이들의 스핀은 각각 <math>2,3,\dots,N</math>이며, <math>T</math>와 <math>W^{(3)}</math>는 1차 연산자이지만 <math>W^{(4)},W^{(5)},\dots</math>는 준1차(quasiprimary) 연산자이다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+\frac12cz^{-4}</math>
:<math>T(z+w)W^{(s)}(w)\sim z^{-1}\partial W^{(s)}(w)+sz^{-2}W^{(s)}(w)+W^{(s-2)}(w)+W^{(s-4)}(w)+\cdots(s=3,\dots,N)</math>
:<math>W^{(s)}(z+w)W^{(s')}(w)\sim W^{(s+s'-2)}+W^{(s+s'-4)}+\cdots+c\delta_{s-s'}</math>
여기서, 마지막 두 공식에서는 상수 계수나 <math>z^{-k}</math> 및 <math>\partial^k</math> 등을 생략하였다.

=== 무한 스핀 W-대수 ===
유한한 <math>N</math>에 대한 <math>W_N</math> 말고도, 2 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 <math>W_\infty</math>와, 1 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 <math>W_{1+\infty}</math>가 존재한다.<ref name="Pope"/>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |  last=Bouwknegt | 이름=Peter | 공저자= Kareljan Schoutens | 제목=W-symmetry |  publisher=World Scientific| series=Advanced Series in Mathematical Physics | isbn=9789810217624 | mr=1338864 | 날짜=1995 | 권=22 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | last=Dickey | first=L. A. | 제목=Lectures on classical W-algebras  | doi=10.1023/A:1017903416906 | year=1997 | journal=Acta Applicandae Mathematicae | issn=0167-8019 | volume=47 | issue=3 | pages=243–321 | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:적분가능계]]