T1 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{DISPLAYTITLE:T<sub>1</sub> 공간}}
{{분리공리}}
[[일반위상수학]]에서 '''T<sub>1</sub> 공간'''(T<sub>1</sub>空間, {{llang|en|''T''<sub>1</sub> space}})은 주어진 두 점에 대하여, 첫째를 포함하며 둘째를 포함하지 않는 [[열린집합]]이 존재하는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 이는 [[콜모고로프 공간]]보다 강하지만, [[하우스도르프 공간]]보다 약한 개념이다. 간혹 '''프레셰 공간'''(Fréchet space)이라고도 하는데, 이 용어는 함수해석학에서 다루는, 무관한 개념인 [[프레셰 공간]]과 혼동될 수 있다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''R<sub>0</sub> 공간'''이라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\in U\not\ni y</math>인 [[열린집합]] <math>U</math>가 존재한다면, <math>x\not\in V\ni y</math>인 [[열린집합]] <math>V</math>가 존재한다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subset X</math>에 대하여, <math>U=\bigcup_{C\in\mathcal C}C</math>인 [[닫힌집합]]들의 집합 <math>\mathcal C\subset\mathcal P(X)</math>이 존재한다.

위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''T<sub>1</sub> 공간'''이라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\ne y</math>라면, <math>x\in U\not\ni y</math>인 [[열린집합]] <math>U</math>가 존재한다.
* [[콜모고로프 공간]]이며 R<sub>0</sub> 공간이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{x\}</math>는 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 [[유한 집합]] <math>S\subseteq X</math>는 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, <math>S</math>를 포함하는 모든 [[열린집합]]들의 [[교집합]]은 <math>S</math>와 같다.

위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''T<sub>D</sub> 공간'''이라고 한다.
* 임의의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math>의 [[유도 집합]]은 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{x\}</math>의 [[유도 집합]]은 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{x\}=U\cap F</math>인 [[열린집합]] <math>U</math> 및 [[닫힌집합]] <math>F</math>가 존재한다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.
{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 모든 [[한원소 집합]]이 … || [[닫힌집합]]이어야 한다 || [[열린집합]]이어야 한다 || [[닫힌집합]]일 수 없다 || [[열린집합]]일 수 없다 || [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]의 교집합이어야 한다
|-
! 위상 공간의 종류
|| T<sub>1</sub> 공간 || [[이산 공간]] || (특별한 이름이 없음) || [[자기 조밀 공간]] || T<sub>D</sub> 공간
|}

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[하우스도르프 공간]](T<sub>2</sub>) ⊊ T<sub>1</sub> 공간 = (R<sub>0</sub> 공간 ∩ [[콜모고로프 공간]](T<sub>0</sub>)) ⊊ T<sub>D</sub> 공간 ⊊ [[콜모고로프 공간]](T<sub>0</sub>)

=== 차분한 공간과의 관계 ===
[[차분한 공간]]과 T<sub>1</sub> 공간은 서로를 함의하지 않는다.

[[차분한 공간|차분한]] T<sub>D</sub> 공간의 [[부분 집합]]은 [[차분한 공간]]이다. 그러나 이는 일반적인 차분한 공간에 대해서는 성립하지 않는다.

== 예 ==
모든 [[알렉산드로프 공간]]은 T<sub>D</sub> 공간이다.<ref name="Aull">{{저널 인용
|성1=Aull
|이름1=C. E.
|성2=Thron
|이름2=W. J.
|제목=Separation axioms between T0 and T1
|언어=en
|저널=Indagationes Mathematicae
|권=24
|쪽=26–37
|날짜=1962
|issn=0019-3577
}}</ref>{{rp|35, Theorem 5.2}} 특히, 모든 [[유한 집합|유한]] [[콜모고로프 공간]]은 T<sub>D</sub> 공간이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Kolmogorov axiom}}
* {{eom|title=Separation axiom}}
* {{매스월드|id=T1-Space|title=T_1-space}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/T1_space|제목=T1 space|웹사이트=Topospaces}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:T1/2_Space|제목=Definition: T1/2 Space|웹사이트=ProofWiki}}

[[분류:위상 공간의 성질]]