L-함수의 특별한 값 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''L-함수의 특별한 값'''(Special values of {{mvar|L}}-functions)은 [[원주율]] <math>\pi</math>에 대한 라이프니츠 (Leibniz) 수식처럼 [[L-함수]]의 수식이 일반화하는 데 사용되는 [[정수론|수 이론]]의 하위 필드이다.

따라서, 라이프니츠 (Leibniz) 수식은 L-함수의 기능을 일반화하여 얻게되는 특수한 값의 형태이다.
:<math>{{\pi}\over{4}} = {1 \over 1} \,-\, {{1}\over{3}} \,+\, {{1}\over{5}} \,-\, {{1}\over{7}} \,+\, {{1}\over{9}} \,-\, \cdots \;</math>
:<math> {\pi} = 4{{\left({1\over 1} \,-\, {{1}\over{3}} \,+\, {{1}\over{5}} \,-\, {{1}\over{7}} \,+\, {{1}\over{9}} \,-\, \cdots \; \right)}}</math>
이처럼 다음과 같이 [[디리클레 베타 함수]]도 L-함수의 일반화를 통해 얻게 되는 일종의 특수한 값의 정보를 보여준다.

:<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!</math>
:<math>G</math>: [[카탈랑 상수]]

== 아페리 상수 ==
[[리만 제타 함수]]의 [[디리클레 급수]](디리클레 가산)표현
:<math>\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \frac{1}{5^3} + \frac{1}{6^3} + \cdots</math>

[[스리니바사 라마누잔|라마누잔]]의 [[아페리 상수]]<ref>*{{인용| first = Bruce C.  | last = Berndt  | title = Ramanujan's notebooks, Part II  | year = 1989  | publisher =  }} [http://www.springer.com Springer]</ref>

:<math>\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}</math>

== 같이 보기 ==
* [[L-함수]]
* [[디리클레 에타 함수]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]