KR이론 문서 원본 보기

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수학에서, '''KR이론'''(KR理論, {{llang|en|KR-theory}})은 [[대합 (수학)|대합]]을 갖춘 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위의 안정 [[벡터 다발]]을 분류하는, [[위상 K이론]]의 일종이다.

== 정의 ==
'''대합 공간'''({{llang|en|space with involution, Real space}}) <math>(X,\tau)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>
* [[대합 (수학)|대합]]인 [[연속 함수|연속]] [[자기 함수]] <math>\tau\colon X\to X</math>, <math>\tau\circ\tau = \operatorname{id}_X</math>
대합 공간 <math>(X,\tau)</math> 위의 '''대합 벡터 다발'''({{llang|en|vector bundle with involution, Real vector bundle}})은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[복소수 벡터 다발]] <math>\pi\colon E \twoheadrightarrow X</math>
* <math>E</math> 위의 연속 대합 <math>\tau_E\colon E \to E</math>
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* 영단면을 <math>0_E \colon X \to E</math>라고 하면, <math>\pi\circ \tau_E\circ 0_E = \tau</math>이다.
*:<math>\begin{matrix}
E&\overset{\tau_E}\to&E\\
{\scriptstyle\!\!\!\!0_E}\uparrow{\scriptstyle\color{White}0_E\!\!\!\!}&&{\scriptstyle\color{White}\!\!\!\!\pi}\downarrow{\scriptstyle\pi\!\!\!\!}\\
X&\underset\tau\to&X
\end{matrix}</math>
* <math>\tau_E\colon E\to E</math>는 (<math>\tau\colon X\to X</math> 위의) 실수 벡터 다발의 동형 사상이며, 임의의 <math>x\in E</math>에 대하여 <math>(\tau_E\restriction E_x)\colon E_x \to E_{\tau(x)}</math>는 [[복소수 벡터 공간]]의 반선형 변환이다. 즉, <math>v\in E_x</math> 및 <math>\lambda\in\mathbb C</math>에 대하여 <math>\tau_E(\lambda v) = \bar\lambda\tau_E(v)</math>이다.

대합 공간 위의 대합 벡터 다발들의 직합을 취할 수 있으며, 이에 따라서 주어진 대합 공간 위의 대합 벡터 다발의 동형류는 [[가환 모노이드]]를 이룬다. 이 가환 모노이드의 [[그로텐디크 구성]]을 대합 공간의 '''KR군'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 다른 K이론과의 관계 ===
복소수 벡터 다발의 [[위상 K군]] <math>\operatorname{KU}^0(-)</math>과 실수 벡터 다발의 [[위상 K군]] <math>\operatorname{KO}^0(-)</math>은 KR군의 특별한 경우로 주어진다.

콤팩트 하우스도르프 공간 <math>X</math> 위에 [[항등 함수]]인 [[대합 (수학)|대합]] <math>\operatorname{id}_X</math>을 부여하자. 그렇다면, 이 대합 공간 위의 대합 벡터 다발 <math>(E,\tau_E)</math>이 주어졌을 때, 항상 실수 벡터 다발
:<math>E_{\mathbb R} = \{v\in E\colon \tau_E(v) = v \}</math>
:<math>E \cong E_{\mathbb R} \otimes \mathbb C</math>
을 정의할 수 있으며, 따라서 그 위의 대합 벡터 다발(의 동형류)은 <math>X</math> 위의 실수 벡터 다발(의 동형류)과 동치이다. 따라서, 이 경우 KR군은 KO군과 같다.
:<math>\operatorname{KR}^0(X,\operatorname{id}_X) = \operatorname{KO}^0(X)</math>

콤팩트 하우스도르프 공간 <math>X</math>가 주어졌을 때, <math>X\times\{\pm1\}</math> 위에 대합
:<math>(x,\pm1)\mapsto(x,\mp1)</math>
을 부여하자. 그렇다면, <math>X\times\{\pm1\}</math> 위의 대합 벡터 다발은 <math>X</math> 위의 복소수 벡터 다발과 동치이다. 따라서, 이 경우 <math>X\times\{\pm1\}</math>의 KR군은 <math>X</math>의 KU군과 같다.
:<math>\operatorname{KR}^0(X\times\{\pm1\},(x,\pm1)\mapsto(x,\mp1)) = \operatorname{KU}^0(X)</math>

=== 보트 주기성 ===
일반 위상 K이론과 마찬가지로, '''축소 KR군'''({{llang|en|reduced KR-group}}) <math>\operatorname{\widetilde{KR}}^{0,0}(X)</math>을 정의할 수 있다.

[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^{m+n}</math> 위에 대합
:<math>(x,y)\mapsto(x,-y)\qquad(x\in\mathbb R^m,\;y\in\mathbb R^n)</math>
을 부여한 것을 <math>\mathbb R^{m,n}</math>으로 표기하자. 그 속의 <math>m+n-1</math>차원 공 및 [[초구]]를 다음과 같이 표기하자.
:<math>\mathbb D^{m,n}=\{(x,y)\in\mathbb R^{m,n}\colon \|x\|^2+\|y\|^2\le1\} \cong \mathbb D^{m+n}</math>
:<math>\mathbb S^{m,n}=\{(x,y)\in\mathbb R^{m,n}\colon \|x\|^2+\|y\|^2=1\} \cong \mathbb S^{m+n-1}</math>
그렇다면, 다음과 같이 두 개의 등급을 갖는 (축소) KR군들을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{KR}^{m,n}(X)=\operatorname{KR}^{0,0}(X\times \mathbb D^{m,n})</math>
:<math>\operatorname{\widetilde{KR}}^{m,n}(X)=\operatorname{\widetilde{KR}}^{0,0}(X\wedge \mathbb D^{m,n})</math>
(여기서 <math>\wedge</math>는 [[분쇄곱]]이다.) 그렇다면, 다음과 같은 '''보트 주기성'''({{llang|en|Bott periodicity}})이 성립한다.
:<math>\operatorname{KR}^{m,n}(X) \cong \operatorname{KR}^{m+1,n+1}(X) \cong \operatorname{KR}^{m+8,n}(X)</math>
즉, KR군은 오직 <math>(m-n)\bmod8</math>에만 의존한다. 보통
:<math>\operatorname{\widetilde{KR}}^{m,n}(X) = \operatorname{\widetilde{KR}}^{n-m}(X)</math>
으로 표기한다. 특히, <math>\mathbb S^{m,n}</math>은 ‘<math>m-n-1</math>차원 초구’로 해석되며, 이를 통하여 음의 차원의 초구를 생각할 수 있다.

실수 · 복소수 K이론의 보트 주기성은 KR이론의 보트 주기성의 특수한 경우이다.

== 응용 ==
[[끈 이론]]에서, [[오리엔티폴드]]가 주어진 [[시공간]]은 대합 공간을 이루며, 그 위의 [[D-막]]들은 KR군에 의하여 분류된다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9907140|제목=Constructing D-branes from K-theory|이름=Kasper|성=Olsen|이름2=Richard J.|성2=Szabo|날짜=1999|언어=en}}</ref>{{rp|§6}}

== 역사 ==
1966년에 [[마이클 아티야]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | 성=Atiyah | 이름=Michael Francis | 저자링크=마이클 아티야 | title=K-theory and reality | mr=0206940 | year=1966 | journal=The Quarterly Journal of Mathematics | issn=0033-5606 | volume=17 | pages=367–386 | doi=10.1093/qmath/17.1.367 | issue=1|언어=en}}</ref> 이름 ‘KR’에서, ‘K’는 원래 [[K이론]]에서 딴 것이다. (이는 {{llang|de|Klasse|클라세}}의 첫 글자이다.) ‘R’는 {{llang|en|real|리얼}}의 첫 글자이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=KR cohomology theory}}

[[분류:K이론]]