K·p 섭동 이론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{소문자}}
[[응집물질물리학]]에서 '''''k·p'' 섭동 이론'''({{lang|en|''k·p'' perturbation theory}})은 [[띠구조]]를 다루는 [[섭동 이론 (양자역학)|섭동 이론]]의 하나다.

== 전개 ==
위치 에너지 <math>\ V(\vec{r})</math> 속에 있는 [[전자]]의 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]은 다음과 같다.
:<math>H_0=\mathbf p^2/2m+V(\mathbf r)+\frac1{4m^2c^2}(\boldsymbol{\sigma}\times\nabla V)\cdot\mathbf p</math>.
전자 [[파동 함수]] <math>\psi(\mathbf r)</math>는 [[슈뢰딩거 방정식]]
:<math>H_0\psi(\mathbf r)=E\psi(\mathbf r)</math>
을 만족한다.

[[위치 에너지]] <math>\ V(\vec{r})</math>은 [[브라베 격자]]의 주기성을 지닌다. 따라서 [[파동 함수]]를 [[블로흐 파]]
:<math>\psi(\mathbf r)=\sum_{\mathbf k}\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r)u_{\mathbf k}(\mathbf r)</math>
로 나타내자. 여기서 <math>u_{\mathbf k}</math>는 [[브라베 격자]]의 주기성을 지닌다. 그렇다면 [[슈뢰딩거 방정식]]을 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>H_{\mathbf k}u_{\mathbf k}(\mathbf r)=E_{\mathbf k}u_{\mathbf k}(\mathbf r)</math>.
여기서
:<math>H_{\mathbf k}=H_0+H'_{\mathbf k}=H_0+\hbar\mathbf k\cdot\mathbf p/m+\hbar^2\mathbf k^2/2m+
\frac1{4m^2c^2}(\boldsymbol{\sigma}\times\nabla V)\cdot\mathbf k</math>
이다. 이제 <math>H_0</math>을 제외한 항들 <math>H'_{\mathbf k}</math>를 원래 해밀토니언 <math>H_0</math>에 대한 [[섭동 이론 (양자역학)|섭동항]]으로 간주하여 [[섭동 이론 (양자역학)|섭동 이론]]을 전개할 수 있다. 이 섭동 이론을 '''''k·p'' 섭동 이론'''이라고 한다.

=== 기본적인 경우 ===
가장 기본적인 경우로, [[스핀-궤도 결합]] <math>(\boldsymbol{\sigma}\times\nabla V)\cdot\mathbf p</math>를 무시한 경우를 생각히 보자. 만약 [[결정 구조]]가 원점 대칭을 가진다면, parity에 의해 <math>\langle n0| \vec{p} |0n \rangle = 0</math> 이 성립한다. 즉, 에너지 1차 섭동은 0이다. 에너지 2차 섭동은 다음과 같다.
:<math> \varepsilon_n(\vec{k}) = \varepsilon_n(0) + {\vec{k}^2 \over 2m} + {1 \over m^2} \sum_{\delta\neq n}{\langle n0|p_{\mu}k_{\mu}|0\delta\rangle\langle\delta0|p_{\nu}k_{\nu}|0n\rangle\over \varepsilon_{n0} - \varepsilon_{\delta0}} </math>

이 때, 고유함수를 1차항까지 전개하면,
:<math> |\vec{k}n \rangle = exp(i\vec{k}\cdot \vec{r}) (|0n\rangle + {1 \over m}\sum_{\delta\neq n}{\langle\delta 0|\vec{k}\cdot \vec{p} |0 n\rangle\over \varepsilon_{n0} - \varepsilon_{\delta 0}})</math>.

[[유효 질량]]의 정의는 다음과 같다.
:<math>({1 \over m^*})_{\mu\nu} = {\partial \over\partial{k_{\mu}}}{\partial\over\partial{k_{\nu}}}\varepsilon_n(\vec{k})</math>

이 정의를 이용해 <math>\varepsilon_n(\vec{k})</math>를 이차항까지 아래와 같은 꼴로 적어 준다.

:<math>\varepsilon_n(\vec{k}) = \varepsilon_n(0) + {1 \over 2m}({m \over m^*})_{\mu\nu} k_{\mu}k_{\nu}</math>
이 식과 앞에서 구한, 섭동에 따른 전개식을 사용하면, 다음과 같은 결과에 도달하게 된다.

:<math>({m \over m^*})_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu} + {2\over m}\sum_{\delta\neq n}{\langle n0|p_{\mu}|0\delta\rangle\langle\delta0|p_{\nu}|0n\rangle\over \varepsilon_{n0} - \varepsilon_{\delta0}} </math>

우변의 분모가 매우 작은 경우, 유효 질량 <math>m^*</math>이 실제 질량 <math>m</math>보다 매우 작게 된다. 예를 들어, [[반도체]] Cd<sub>''x''</sub>Hg<sub>1&minus;''x''</sub>Te (<math>x = 0.136</math>)의 경우, [[전도띠]]의 [[바닥 상태]]에서는 유효 질량이 <math>m^*/m\le 4*10^{-4}</math>으로 매우 작다.

=== 스핀-궤도 결합 ===
[[스핀-궤도 결합]] 효과를 고려하는 경우에는 보통 다음과 같은 '''역학적 운동량'''({{lang|en|mechanical momentum}}) <math>\boldsymbol\pi</math>를 정의한다.
:<math> \boldsymbol\pi = \mathbf p +\frac1{mc^2} \boldsymbol\sigma \times \nabla V(\mathbf r)</math>.
그렇다면 섭동 해밀토니언 <math>H'_{\mathbf k}</math>는 다음과 같다.
:<math>H'_{\mathbf k}=\hbar\mathbf k\cdot\boldsymbol\pi/m+\hbar^2\mathbf k^2/2m.</math>
즉, 스핀-궤도 결합을 고려하려면 모든 공식에서 바른틀 운동량 <math>\mathbf p</math>를 역학적 운동량 <math>\boldsymbol\pi</math>로 치환하기만 하면 된다.

=== 겹침이 있는 경우의 k·p 섭동 이론 ===
[[겹침 (물리학)|겹침]]이 있는 경우 ''k·p'' 섭동 이론은 더 복잡해진다. 기본적인 방법은 겹침이 없는 경우와 같으나, 기저를 새롭게 잡아서 해밀토니언의 섭동항의 대각 성분만 살려주도록 해야 한다. 경우에 따라 그 방법이 다양하다.<ref>{{서적 인용|이름=C.|성=Kittel|제목=Quantum Theory of Solids|url=https://archive.org/details/quantumtheoryofs0002kitt|판=2판|연도=1987|ISBN=0-471-62412-8}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[띠구조]]
* [[준자유 전자 모형]]
* [[띠틈]]
* [[유효 질량]]
* [[상태 밀도]]
* [[블로흐 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용
| last = Ashcroft
| first = Neil W.
| 공저자 = N. David Mermin
| 제목 = Solid State Physics
| url = https://archive.org/details/solidstatephysic00ashc
| 출판사 = Holt, Rinehart and Winston
| 날짜 = 1976
| isbn = 0-03-083993-9
|언어=en
}}

[[분류:응집물질물리학]]
[[분류:반도체]]